Question

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R,касающаяся стороны AC в точке M ,причём AM=5R,CM=1,5R А)докажите что треугольник ABC прямоугольный Б) найдите расстояние между центрам его вписанной и описанной окружностей ,если известно что R=4

Answer 1

А) Пусть O – центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. АО – биссектриса угла BAC. AOD – прямоугольный и равнобедренный треугольник, его угол OAD равен 45°. Следовательно,  угол BAC равен 90°.
Б) Пусть BF = x. Согласно теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 5, CF = CD = 15 и BE = BF. Согласно теореме Пифагора, BC² = AC² + AB².
(15 + x)² = 20² + (5 + x)².
x = 10.
Следовательно, BC = 25.
sin ∠ABC = AC/BC = 20/25 = 4/5.
S △BEF = ½ BE * BF sin ∠ABC = ½ * 10 * 10 * 4/5 = 40.
Ответ: 40.

Answer 2

Доказательство прямоугольности треугольника ABC

Для доказательства прямоугольности треугольника ABC воспользуемся свойством, что вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон в точке касания.

Пусть точка касания на стороне AC обозначена как M. Также известно, что AM = 5R и CM = 1.5R.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора в этом треугольнике выполняется:

AC^2 = AM^2 + CM^2

Подставим известные значения и получим:

AC^2 = (5R)^2 + (1.5R)^2

AC^2 = 25R^2 + 2.25R^2

AC^2 = 27.25R^2

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нем сторона AC является гипотенузой, а радиус R является половиной длины этой стороны, так как вписанная окружность касается стороны AC в точке M.

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, так как его гипотенуза AC является диаметром вписанной окружности.

Нахождение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей

Для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей, нам нужно знать радиус R.

Из условия известно, что R = 4. Пусть центр вписанной окружности обозначен как O1, а центр описанной окружности - как O2.

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно разности радиусов:

Расстояние = R - R1

Подставляя значение радиуса R = 4, получаем:

Расстояние = 4 - 4 = 0

Таким образом, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно 0. Это означает, что центры этих окружностей совпадают.