Question

При каких значениях параметра p неизвестно: px^2+(2p-3)x+(p+3)>0 верно при всех значениях x

Answer 1

Квадратное неравенство верно при всех значениях х, если график квадратного трехчлена будет расположен выше оси ох.
В этом случае
1)дискриминант квадратного трехчлена отрицательный ( парабола не пересекает ось ох),
2)коэффициент при х ² р - положительный( ветви параболы направлены вверх)
D=(2p-3)²-4p(p+3)=4p²-12p+9-4p²-12p=-24p+9<0
-24p<-9
p>9/24
или р>3/8
Учитывая второе условие р>0
получаем ответ
 р> 3/8
ответ. (3/8; +∞)

Answer 2

При решении неравенства px^2 + (2p-3)x + (p+3) > 0 мы ищем значения параметра p, при которых неравенство выполняется для всех значений x.

Для того чтобы неравенство выполнялось для всех значений x, дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным. Дискриминант вычисляется по формуле D = (2p-3)^2 - 4p(p+3).

Если дискриминант отрицательный, то неравенство выполняется для всех значений x. Решим неравенство D < 0:

(2p-3)^2 - 4p(p+3) < 0

Раскроем скобки и упростим:

4p^2 - 12p + 9 - 4p^2 - 12p < 0

Сократим подобные слагаемые:

-24p + 9 < 0

Перенесем 9 на другую сторону:

-24p < -9

Разделим обе части неравенства на -24, поменяв при этом знак неравенства:

p > 9/24

Упростим дробь:

p > 3/8

Таким образом, при значениях параметра p > 3/8 неравенство px^2 + (2p-3)x + (p+3) > 0 верно для всех значений x.