Question

Решите неравенство (x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(6-x)^5⩽0

Answer 1

(x + 2)²(x - 3)³(x - 4)^4(6 - x)^5 <=0
(x + 2)²(x - 3)³(x - 4)^4(x - 6)^5 >= 0
Отметим на числовой прямой закрашенные точки - 2, 3, 4 ,6 и подставляя в скобки числа лежащие между этими числами посчитаем знаки в каждом из этих промежутков получим слева направо + ,- ,- ,+ , +Тогда ответ:
x э ( - бесконечности; 3] U [6; + бесконечности)

Answer 2

Для начала решим данное неравенство поэтапно.

Разложение неравенства на множители

Итак, у нас есть неравенство:

\((x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(6-x)^5 \leq 0\)

Для начала найдем корни уравнения каждого множителя, чтобы выяснить, где каждый множитель меньше или равен нулю.

1. \(x+2 = 0\) => \(x = -2\) 2. \(x-3 = 0\) => \(x = 3\) 3. \(x-4 = 0\) => \(x = 4\) 4. \(6-x = 0\) => \(x = 6\)

Построение интервалов

Теперь построим интервалы на оси \(x\), используя найденные корни.

1. \(-\infty < x < -2\) 2. \(-2 < x < 3\) 3. \(3 < x < 4\) 4. \(4 < x < 6\) 5. \(6 < x < +\infty\)

Определение знака множителей в каждом интервале

Теперь определим знак каждого множителя в каждом интервале. Для этого можно выбрать тестовую точку в каждом интервале и определить знак множителя.

- При \(x = -3\) получаем: \((x+2)^2 < 0\), \((x-3)^3 < 0\), \((x-4)^4 < 0\), \((6-x)^5 > 0\), значит, множитель отрицательный. - При \(x = 0\) получаем: \((x+2)^2 > 0\), \((x-3)^3 < 0\), \((x-4)^4 < 0\), \((6-x)^5 > 0\), значит, множитель положительный. - При \(x = 3.5\) получаем: \((x+2)^2 > 0\), \((x-3)^3 > 0\), \((x-4)^4 < 0\), \((6-x)^5 > 0\), значит, множитель положительный. - При \(x = 5\) получаем: \((x+2)^2 > 0\), \((x-3)^3 > 0\), \((x-4)^4 > 0\), \((6-x)^5 < 0\), значит, множитель отрицательный.

Определение знака неравенства

Теперь соберем информацию о знаках множителей вместе и определим знак неравенства на каждом интервале:

1. \(-\infty < x < -2\): Знак отрицательный 2. \(-2 < x < 3\): Знак положительный 3. \(3 < x < 4\): Знак положительный 4. \(4 < x < 6\): Знак отрицательный 5. \(6 < x < +\infty\): Знак отрицательный

Ответ

Таким образом, решение неравенства \((x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(6-x)^5 \leq 0\) в виде интервалов будет:

\[x \in (-\infty, -2] \cup (3, 4)\]

Таким образом, неравенство \((x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(6-x)^5 \leq 0\) выполняется при \(x\) принадлежащем интервалам \((- \infty, -2]\) и \((3, 4)\).