Question

Розв'яжіть: 2sin x cos x = 2cos ( - ) -√3 = 0

Answer 1

По формуле синуса двойного аргумента:
$sin2x = \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$2x = (-1)^{n}\frac{ \pi }{3} + \pi n$, n ∈ Z
$x = (-1)^{n}\frac{ \pi }{6} + \frac{\pi n}{2}$, n ∈ Z

$2cos( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2} ) = \sqrt{3}$
$cos( -\frac{ \pi }{4}+ \frac{x}{2} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$-\frac{ \pi }{4} + \frac{x}{2} =$ ±$\frac{ \pi }{6} + 2 \pi n$, n ∈ Z
$x =$ ±$\frac{ \pi }{3} + \frac{ \pi }{2} + 4 \pi n$, n ∈ Z

Answer 2

Для розв'язання даного рівняння, ми можемо скористатися кількома тригонометричними тотожностями та властивостями. Спочатку замінимо косинус і синус з допомогою формули Eйлера:

2sin(x) + cos(x) = 2cos(x + π/3) - √3 = 0

Далі, перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння:

2sin(x) + cos(x) - 2cos(x + π/3) + √3 = 0

Зараз, ми можемо скористатися тригонометричними тотожностями, щоб спростити це рівняння. Зокрема, ми можемо скористатися формулами зменшення аргументу:

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Використовуючи ці формули, ми можемо переписати рівняння:

2sin(x) + cos(x) - 2cos(x)cos(π/3) + 2sin(x)sin(π/3) + √3 = 0

Зараз, ми можемо спростити це рівняння, використовуючи значення cos(π/3) та sin(π/3), які відомі:

2sin(x) + cos(x) - 2cos(x)(1/2) + 2sin(x)(√3/2) + √3 = 0

2sin(x) + cos(x) - cos(x) + √3sin(x) + √3 = 0

3sin(x) + √3sin(x) + cos(x) - cos(x) + √3 = 0

(3 + √3)sin(x) = -√3

Тепер, ми можемо вирішити це рівняння відносно sin(x):

sin(x) = -√3 / (3 + √3)

Щоб знайти значення x, ми можемо використати обернену функцію синуса:

x = arcsin(-√3 / (3 + √3))

Використовуючи калькулятор або математичне програмне забезпечення, ми можемо обчислити значення x, що задовольняє це рівняння.