Question

Помогите решить тригонометрические уравнения: 1) cos2x(1-cos2x)=3sin^(2)x 2) найти все решения sin((π/6)-x)=-1/√2, удовлетворяющих πx-(x^2)>0

Answer 1

Cos2x-cos^2x=3sin^2x
cos^2x-sin^2x-(cos^2x-sin^2x)^2=3sin^2x
cos^2x-sin^2x-cos^2x+sin^2x=3sin^2x
3sin^2x=0
sin^2x=0
sinx=0
x=pin

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить эти тригонометрические уравнения. Давайте рассмотрим их по очереди.

1) Уравнение: cos(2x)(1 - cos(2x)) = 3sin^2(x)

Для начала, давайте упростим это уравнение. Раскроем произведение cos(2x)(1 - cos(2x)):

cos(2x) - cos^2(2x) = 3sin^2(x)

Теперь, заменим cos(2x) через тригонометрическую формулу двойного угла:

1 - 2sin^2(x) - (1 - 2cos^2(2x)) = 3sin^2(x)

Упростим это уравнение:

-2sin^2(x) + 2cos^2(2x) = 3sin^2(x)

Перенесем все члены в одну сторону:

2cos^2(2x) + 3sin^2(x) - 2sin^2(x) = 0

Упростим полученное уравнение:

2cos^2(2x) + sin^2(x) = 0

Теперь, заменим cos^2(2x) через тригонометрическую формулу:

2(1 - sin^2(2x)) + sin^2(x) = 0

Упростим это уравнение:

2 - 2sin^2(2x) + sin^2(x) = 0

Перенесем все члены в одну сторону:

-2sin^2(2x) + sin^2(x) + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте его решим:

-2(4sin^2(x) - 3sin^2(x)) + sin^2(x) + 2 = 0

-8sin^2(x) + 6sin^2(x) + sin^2(x) + 2 = 0

-8sin^2(x) + 7sin^2(x) + 2 = 0

-8sin^2(x) + 7sin^2(x) + 2 = 0

-8sin^2(x) + 7sin^2(x) + 2 = 0

(7sin^2(x) - 8sin^2(x)) + 2 = 0

-sin^2(x) + 2 = 0

sin^2(x) = 2

Так как sin^2(x) не может быть больше 1, у нас нет решений для этого уравнения.

2) Уравнение: sin((π/6) - x) = -1/√2, удовлетворяющих πx - (x^2) > 0

Давайте решим это уравнение.

sin((π/6) - x) = -1/√2

Перенесем -1/√2 на другую сторону:

sin((π/6) - x) + 1/√2 = 0

Теперь, найдем значения x, удовлетворяющие уравнению πx - (x^2) > 0:

πx - (x^2) > 0

x(π - x) > 0

У нас есть два множителя: x и (π - x). Чтобы произведение было положительным, одновременно либо оба множителя должны быть положительными, либо оба множителя должны быть отрицательными. Так как π - x не может быть отрицательным, так как π > x, в нашем случае оба множителя должны быть положительными:

x > 0 и π - x > 0

x > 0 и π > x

Таким образом, отбираем только значения x из интервала (0, π).

Заключение: 1) Уравнение cos(2x)(1 - cos(2x)) = 3sin^2(x) не имеет решений. 2) Уравнение sin((π/6) - x) = -1/√2 имеет решения для x из интервала (0, π), удовлетворяющих также условию πx - (x^2) > 0.