Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:y = 2x + 1/x^2 на [1/2; 3]

Answer 1

y'= 2-2-(x^3)
приравниваем к нулю:
2-2/(x^3)=0

1/x^3-1=0

1-x^3=0                                                    x неравен 0

x=1

подставляя значения 1;         1/2 и 3 в исходное уравнение получаем, что минимум функции равен 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 2x + 1/x^2 на интервале [1/2; 3], мы должны проанализировать поведение функции в этом интервале.

Для начала, давайте найдем производную функции y по переменной x. Производная позволяет нам определить, где функция возрастает или убывает.

Вычисление производной:

Для этого нам понадобится применить правила дифференцирования. Возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности: - Производная от 2x равна 2. - Производная от 1/x^2 можно найти с помощью правила дифференцирования обратной функции. Если f(x) = 1/x, то f'(x) = -1/x^2.

Теперь сложим эти два слагаемых, чтобы получить производную функции y по переменной x:

y' = 2 - 1/x^2

Анализ поведения функции:

Теперь, чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная не существует в точке x = 0 (так как деление на ноль не определено) и не равна нулю на интервале [1/2; 3].

Таким образом, у функции нет экстремумов на интервале [1/2; 3].

Нахождение наибольшего и наименьшего значения:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, мы должны анализировать ее поведение на границах интервала [1/2; 3].

Граница 1/2:

Подставим x = 1/2 в выражение для y:

y = 2*(1/2) + 1/(1/2)^2 = 1 + 4 = 5

Таким образом, на границе 1/2 функция достигает значения 5.

Граница 3:

Подставим x = 3 в выражение для y:

y = 2*3 + 1/3^2 = 6 + 1/9 = 6.1111...

Таким образом, на границе 3 функция достигает значения примерно 6.1111.

Итог:

Наибольшее значение функции на интервале [1/2; 3] равно примерно 6.1111, а наименьшее значение равно 5.