Question

Найдите наименьшее значение функции: y=x^3-12x+7 на отрезке [0;3]

Answer 1

Y`=(x^3-12x+7)`=0
3x^2-12=0
3x^2=12
x^2=4
x=2    x=-2
y(2)=2^3-12*2+7=8-24+7=-9=ymin
y(0)=0^3-12*0+7=7
y(3)=3^3-12*3+7=27-36+7=-2.

Answer 2

Для поиска наименьшего значения функции \( y = x^3 - 12x + 7 \) на отрезке \([0;3]\) следует применить метод дифференциального исчисления. Для начала найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \) и решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти критические точки. После этого мы можем проверить значения функции в этих точках, а также на границах отрезка, и выбрать наименьшее из них.

Нахождение производной функции

Производная функции \( y = x^3 - 12x + 7 \) равна:

\[ y' = 3x^2 - 12 \]

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[ 3x^2 - 12 = 0 \]

\[ 3x^2 = 12 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Проверка значений функции в критических точках и на границах отрезка

Теперь, нам нужно проверить значения функции \( y \) в найденных критических точках \( x = -2, x = 2 \) и на границах отрезка \( x = 0, x = 3 \), чтобы найти наименьшее значение.

\[ y(0) = 7 \]

\[ y(3) = 16 \]

\[ y(-2) = -25 \]

\[ y(2) = -17 \]

Ответ

Таким образом, наименьшее значение функции \( y = x^3 - 12x + 7 \) на отрезке \([0;3]\) равно -25, и достигается при \( x = -2 \).