Question

За яких значень а точка 3 є точкою максимуму функції y=x^3/3-((a+3)x^2)/2+3ax

Answer 1

$y= \frac{x^3}{3}- \frac{x^2(a+3)}{2} +3ax \\ y'=x^2-2x(a+3)+3a \\ \\ y'(3)=0\\ 0=3^2-6(a+3)+3a \\ 0=-9-3a\\ a=-3$

Answer 2

Функція, що дана у вигляді y = x^3/3 - ((a+3)x^2)/2 + 3ax, має залежність від параметра "a". Щоб знайти значення "x", при якому функція досягає максимуму, ми можемо застосувати похідну функції відносно "x" та прирівняти його до нуля.

Обчислення похідної:

Для цього візьмемо кожен доданок окремо і знайдемо похідну кожного з них.

Похідна першого доданку: (x^3/3)' = (1/3) * 3x^2 = x^2 Похідна другого доданку: ((a+3)x^2)/2)' = (a+3)/2 * 2x = (a+3)x Похідна третього доданку: (3ax)' = 3a

Знаходження значення "x":

Тепер прирівнюємо похідну до нуля і вирішуємо рівняння:

x^2 - (a+3)x + 3a = 0

Це квадратне рівняння можна вирішити за допомогою формули дискримінанту:

D = b^2 - 4ac

де a = 1, b = -(a+3), c = 3a

Знаходження значення "x" при максимумі:

Якщо дискримінант D > 0, то рівняння має два різних корені. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь. Якщо D < 0, то рівняння не має розв'язків.

Якщо D > 0, ми знаходимо два корені рівняння і розглядаємо їх обидва. Значення "x", при якому функція досягає максимуму, буде відповідати одному з цих коренів.

Якщо D = 0, ми маємо один корінь рівняння, і це значення "x", при якому функція досягає максимуму.

Якщо D < 0, рівняння не має розв'язків, і функція не досягає максимуму.

Отже, для знаходження значень "x", при яких функція досягає максимуму, необхідно обчислити дискримінант D та вирішити квадратне рівняння.