Question

Зная, что a+b=8V5 и ab=1/V5 * (a+b), вычислите a^2 + b^2 и a^4 + b^4 .

Answer 1

(а+в)²=а²+в²+2ав
а²+в²=(а+в)²-2ав=(8*√5)²-2*1/√5*8*√5=304
(а²+в²)²=а**4+в**4+2а²*в²
а^4+в^4=(а²+в²)²-2а²в²=304²-2*1/5*(8√5)²=304²-2*64=

Answer 2

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас дано два уравнения:

1. a + b = 8√5 2. ab = 1/√5 * (a + b)

Решение:

Для начала, давайте возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

1. (a + b)^2 = (8√5)^2 2. (ab)^2 = (1/√5 * (a + b))^2

1. a^2 + 2ab + b^2 = 320 2. a^2b^2 = (1/√5)^2 * (a + b)^2

Заметим, что мы можем заменить значение a + b во втором уравнении на 8√5, так как это значение мы знаем из первого уравнения:

2. a^2b^2 = (1/√5)^2 * (8√5)^2

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить:

1. a^2 + 2ab + b^2 = 320 2. a^2b^2 = (1/√5)^2 * (8√5)^2

Решение первого уравнения:

Давайте раскроем скобки в первом уравнении:

a^2 + 2ab + b^2 = 320

a^2 + 2ab + b^2 = 320

Теперь давайте заменим значение ab в выражении на значение из второго уравнения:

a^2 + 2 * (1/√5 * (a + b)) + b^2 = 320

a^2 + 2/√5 * (a + b) + b^2 = 320

Теперь мы можем заменить значение a + b на 8√5:

a^2 + 2/√5 * (8√5) + b^2 = 320

a^2 + 2/√5 * 8√5 + b^2 = 320

a^2 + 16 + b^2 = 320

Решение второго уравнения:

Теперь рассмотрим второе уравнение:

a^2b^2 = (1/√5)^2 * (8√5)^2

a^2b^2 = (1/√5)^2 * 8^2 * (√5)^2

a^2b^2 = (1/5) * 64 * 5

a^2b^2 = 64

Вычисление a^2 + b^2:

Из первого уравнения мы получили, что a^2 + 16 + b^2 = 320. Теперь вычтем 16 из обеих сторон:

a^2 + b^2 = 320 - 16

a^2 + b^2 = 304

Вычисление a^4 + b^4:

Теперь возведем в квадрат оба уравнения:

1. (a^2 + b^2)^2 = (304)^2 2. (a^2b^2)^2 = (64)^2

1. a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = 92416 2. a^4b^4 = 4096

Теперь вычтем 2a^2b^2 из первого уравнения:

a^4 + b^4 = 92416 - 2a^2b^2

a^4 + b^4 = 92416 - 2 * 4096

a^4 + b^4 = 92416 - 8192

a^4 + b^4 = 84224

Таким образом, мы получаем:

a^2 + b^2 = 304 a^4 + b^4 = 84224