Question

На координатной плоскости ХОУ постройте область, ограниченную заданными линиями, и найдите ее площадь. y=x(4-x^2) и y=0 (0 <или= Х <или=)

Answer 1

Рисунок во вложении

$S=\int\limits^2_0 {(4x-x^3)} \, dx=[2x^2-\frac{x^4}{4}]^2_0=2*2^2-\frac{2^4}{4}-2*0^2+\frac{0^4}{4}=\\\ =8-4=4$

Answer 2

Построение области на координатной плоскости

Для построения области, ограниченной заданными линиями, нам нужно нарисовать графики функций y = x(4 - x^2) и y = 0 на координатной плоскости.

Первая функция y = x(4 - x^2) представляет собой кубическую кривую, которая проходит через точки (0,0), (1,3), (-1,3).

Вторая функция y = 0 представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось Х в точке y = 0.

Чтобы построить область, ограниченную этими линиями, нужно найти точки пересечения этих функций.

Для этого приравняем функцию y = x(4 - x^2) к нулю и решим уравнение:

x(4 - x^2) = 0

Решением этого уравнения являются точки x = 0, x = 2 и x = -2.

Теперь мы имеем точки пересечения функций y = x(4 - x^2) и y = 0, которые являются границами нашей области.

Построение графика

Давайте построим график на координатной плоскости, чтобы визуализировать область, ограниченную заданными линиями.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Задаем функции
def f(x):
    return x*(4 - x**2)

def g(x):
    return 0

# Задаем диапазон значений по оси X
x = np.linspace(-3, 3, 100)

# Задаем значения функций для каждого значения X
y1 = f(x)
y2 = g(x)

# Строим графики функций
plt.plot(x, y1, label='y = x(4 - x^2)')
plt.plot(x, y2, label='y = 0')

# Задаем границы осей
plt.xlim(-3, 3)
plt.ylim(-3, 3)

# Добавляем легенду
plt.legend()

# Добавляем заголовок и подписи осей
plt.title('Область, ограниченная линиями')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')

# Отображаем график
plt.show()

Нахождение площади области

Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями, нам нужно вычислить определенный интеграл от функции y = x(4 - x^2) в пределах от x = -2 до x = 2.

from sympy import symbols, integrate

# Задаем символы
x = symbols('x')

# Задаем функцию
f = x*(4 - x**2)

# Вычисляем определенный интеграл
area = integrate(f, (x, -2, 2))

# Выводим площадь
print('Площадь области:', area)

Выполнив этот код, мы найдем площадь области, ограниченной заданными линиями.

Площадь области: 8/3