Question

Найдите промежутки возрастания и убывания, определите точки экстремума функции: f(x)=2x^3+9x^2-24x

Answer 1

1) f'(x) = 6x² +18x -24
6x² + 18x - 24 = 0
x² + 3x - 4 = 0
по т. Виета корни - 4  и  1 - это критические точки
2) -∞            - 4                1                +∞
             +                 -                 +          это знаки производной
3) f(x) = 2x³ + 9x² - 24x   возрастает при х∈(-∞;- 4) ∪ (1; + ∞)
     f(x) = 2x³ + 9x² - 24x  убывает при х ∈ (-4; 1)
4)  х = - 4 - это точка максимума
     х = 1 - это точка минимума

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x, а также определения точек экстремума, мы должны проанализировать производную функции. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке.

Нахождение производной функции f(x)

Чтобы найти производную функции f(x), мы применим правила дифференцирования. Дифференцирование каждого члена функции по отдельности даст нам производную функции.

Производная функции f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x:

f'(x) = d/dx (2x^3) + d/dx (9x^2) - d/dx (24x)

Чтобы взять производную каждого члена функции, мы используем степенное правило дифференцирования. Для членов вида cx^n, производная равна n * cx^(n-1).

Применяя степенное правило, получим:

f'(x) = 6x^2 + 18x - 24

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции f(x) могут быть найдены, приравнивая производную f'(x) к нулю и решая полученное уравнение.

6x^2 + 18x - 24 = 0

Мы можем разложить это уравнение на множители или использовать квадратное уравнение для его решения. В данном случае, у нас получается квадратное уравнение.

Решая это уравнение, мы найдем значения x, которые будут представлять точки экстремума функции.

Промежутки возрастания и убывания

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем анализировать знак производной функции f'(x) в различных интервалах.

Для этого, мы можем построить таблицу знаков, где на каждом интервале мы проверяем знак производной.

Интервалы возрастания: - Если f'(x) > 0, то функция возрастает на данном интервале. - Если f'(x) < 0, то функция убывает на данном интервале.

Таблица знаков и интервалы возрастания и убывания

x < -2      |     -    |   Убывает
-2 < x < 2  |     +    |   Возрастает
x > 2       |     -    |   Убывает

Согласно таблице знаков, функция f(x) возрастает на интервале -2 < x < 2 и убывает на интервалах x < -2 и x > 2.

Определение точек экстремума

Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума функции.

6x^2 + 18x - 24 = 0

Мы можем разложить это уравнение на множители или использовать квадратное уравнение для его решения.

Решая данное уравнение, мы найдем значения x, которые будут представлять точки экстремума функции.

Для нашего уравнения, значения x будут:

x = -4 и x = 1

Таким образом, функция f(x) имеет две точки экстремума: x = -4 и x = 1.

Подведение итогов: - Функция f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x имеет промежутки возрастания на интервале -2 < x < 2. - Функция f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x имеет промежутки убывания на интервалах x < -2 и x > 2. - Точки экстремума функции f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x находятся в x = -4 и x = 1.