Question

найти наименьшее значение функции y=3 в степене x квадрат минус 4х плюс 7

Answer 1

$y=3^{x^2-4x+7}$
Рассмотрим показатель степени как отдельную функцию  $g= x^2-4x+7$ Это парабола, ветви вверх, т.е. в ее вершине принимается минимальное значение.$x_0= \frac{4}{2*1}= 2$ 
Найдём теперь наименьшее значение функции$y=3^{2^2-4*2+7}=3^3=27$
Ответ: 27

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 3x^2 - 4x + 7 необходимо использовать методы анализа функций, такие как нахождение вершины параболы или производная функции.

Нахождение вершины параболы

Функция y = 3x^2 - 4x + 7 представляет собой параболу, и наименьшее значение функции будет соответствовать вершине этой параболы. Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид:

x = -b / (2a) y = f(x)

где a, b и c - коэффициенты параболы в уравнении вида ax^2 + bx + c = 0.

В данном случае, a = 3, b = -4, и c = 7. Подставляя значения в формулу, получаем:

x = -(-4) / (2 * 3) = 4 / 6 = 2 / 3

Далее, подставим значение x в функцию, чтобы найти значение y:

y = 3(2/3)^2 - 4(2/3) + 7 = 12/3 - 8/3 + 7 = 4 - 8/3 + 7 = 12/3 + 7 = 4 + 7 = 11

Таким образом, наименьшее значение функции y = 3x^2 - 4x + 7 равно 11 и достигается при x = 2/3.

Использование производной функции

Еще один способ найти наименьшее значение функции - это использование производной функции. Если производная функции равна нулю в точке x, то это может быть точка минимума или максимума функции.

Сначала найдем производную функции y = 3x^2 - 4x + 7. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:

d/dx (3x^2) = 6x d/dx (-4x) = -4 d/dx (7) = 0

Сложив эти производные, получим производную функции:

dy/dx = 6x - 4

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение:

6x - 4 = 0 6x = 4 x = 4/6 x = 2/3

Таким образом, точка x = 2/3 является критической точкой функции.

Для определения, является ли эта точка минимумом или максимумом, можно проанализировать знак второй производной функции. Если вторая производная положительна в точке x, то это будет точка минимума, иначе - точка максимума.

Вычислим вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = d/dx (6x - 4) d^2y/dx^2 =