Question

На биссектрисе 2 и 4 координатных углов отметили точку А (х; у). Докажите, что для координат этой точки в каждом случае выполняется равенство у= -х.

Answer 1

Во второй четверти х принимает значения х≤0 , а у≥о
Точки , принадлежащие биссектриссе имеют координаты равные по модулю и разные по знакам , т.е. -х=у
Аналогично в четвертой четверти  х≥0, а у≤0, т.е разные по знакам и равные по модулю, а именно х= -у

Answer 2

Для доказательства равенства у = -х для координат точки А на биссектрисе 2 и 4 координатных углов, мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы и геометрическими соотношениями.

Предположим, что у нас есть биссектриса 2 координатных углов. Пусть точка А имеет координаты (х, у) на этой биссектрисе.

Свойство биссектрисы

Биссектриса делит угол на два равных угла. В нашем случае, биссектриса делит угол между положительной осью OX и отрицательной осью OY на два равных угла.

Симметрия относительно начала координат

Так как биссектриса проходит через начало координат (0,0), она имеет свойство симметрии относительно начала координат. Это означает, что если точка А с координатами (х, у) лежит на биссектрисе, то точка (-х, -у) также будет лежать на этой же биссектрисе.

Доказательство

Так как точка А (х, у) лежит на биссектрисе, то по свойству симметрии точка (-х, -у) также будет лежать на этой же биссектрисе.

Поскольку биссектриса делит угол между положительной осью OX и отрицательной осью OY на два равных угла, координаты точки А и точки (-х, -у) должны быть равными по модулю, но с противоположными знаками. То есть, |х| = |-х| и |у| = |-у|.

Из предыдущего уравнения следует, что х = -х и у = -у. Последнее уравнение можно переписать в виде у = -х.

Таким образом, мы доказали, что для координат точки А на биссектрисе 2 и 4 координатных углов выполняется равенство у = -х.