Question

Lim 2х^3+х+1/3х^3+х^2+1 X-бесконечность Помогите пожалуйста

Answer 1

Неопределённость ∞/∞ раскрываем делением числителя и знаменателя на икс в максимальной степени, т.е. на х³.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}+x+1 }{3 x^{3}+ x^{2} +1 } =\lim_{x \to \infty} \frac{2+ \frac{1}{ x^{2} } + \frac{1}{ x^{3}}}{3+ \frac{1}{x} + \frac{1}{ x^{3}}} =\frac{2+ \frac{1}{ oo^{2} } + \frac{1}{ oo^{3}}}{3+ \frac{1}{oo} + \frac{1}{ oo^{3}}} = \\ \\ \frac{2+0+0}{3+0+0} = \frac{2}{3}$

Answer 2

Для решения данной задачи о пределе, нам дано выражение:

\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1 + x}\)

Чтобы найти предел этого выражения, мы можем применить правило Лопиталя, которое позволяет нам находить пределы отношений функций, если оба числителя и знаменателя стремятся к нулю или бесконечности.

Применим правило Лопиталя к данному выражению. Для этого найдем производные числителя и знаменателя и вычислим их пределы:

\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1 + x}\)

Производная числителя:

\(\frac{d}{dx}(2x^3 + x + 1) = 6x^2 + 1\)

Производная знаменателя:

\(\frac{d}{dx}(3x^3 + x^2 + 1 + x) = 9x^2 + 2x + 1\)

Теперь найдем пределы производных:

\(\lim_{x\to\infty}(6x^2 + 1) = \infty\)

\(\lim_{x\to\infty}(9x^2 + 2x + 1) = \infty\)

Так как оба предела равны бесконечности, мы можем снова применить правило Лопиталя:

\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1 + x} = \lim_{x\to\infty}\frac{6x^2 + 1}{9x^2 + 2x + 1}\)

Продолжим применять правило Лопиталя, находя производные числителя и знаменателя:

\(\frac{d}{dx}(6x^2 + 1) = 12x\)

\(\frac{d}{dx}(9x^2 + 2x + 1) = 18x + 2\)

Найдем пределы производных:

\(\lim_{x\to\infty}(12x) = \infty\)

\(\lim_{x\to\infty}(18x + 2) = \infty\)

Опять применим правило Лопиталя:

\(\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2 + 1}{9x^2 + 2x + 1} = \lim_{x\to\infty}\frac{12x}{18x + 2}\)

Производная числителя:

\(\frac{d}{dx}(12x) = 12\)

Производная знаменателя:

\(\frac{d}{dx}(18x + 2) = 18\)

Найдем пределы производных:

\(\lim_{x\to\infty}(12) = 12\)

\(\lim_{x\to\infty}(18) = 18\)

Так как пределы производных констант, мы можем найти предел исходного выражения:

\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1 + x} = \lim_{x\to\infty}\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\)

Таким образом, предел данного выражения равен \(\frac{2}{3}\).

Источники: [[1]](https://amkbook.net/mathbook/second-special-limit)