Question

Докажите без калькулятора, что выражение 36 в 7 степени - 6 в 13 + 6 в 12 делится на 31

Answer 1

$36^7-6^{13}+6^{12}=(6^2)^7-6^{13}+6^{12}=\\\\6^{2*7}-6^{13}+6^{12}=\\\\6^{14}-6^{13}+6^{12}=\\\\6^{12}*6^2-6^{12}*6+6^{12}*1=\\\\6^{12}*(36-6+1)=6^{12}*31$  а значит делится нацело на 31 ( так как один из множителей в разложении а именно 31 делится нацело на 31). Доказано

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 36 в 7 степени - 6 в 13 + 6 в 12 делится на 31, мы можем использовать свойства арифметики и модульной арифметики.

Доказательство:

1. Заметим, что 36 в 7 степени - 6 в 13 + 6 в 12 можно записать как (36^7 - 6^13 + 6^12).

2. Мы можем применить свойство модульной арифметики, которое гласит: если a ≡ b (mod n), то a^k ≡ b^k (mod n) для любого целого k.

3. В нашем случае, мы хотим доказать, что (36^7 - 6^13 + 6^12) делится на 31. Это эквивалентно тому, что (36^7 - 6^13 + 6^12) ≡ 0 (mod 31).

4. Мы можем применить свойство модульной арифметики и заменить каждую из трех частей выражения на их остатки при делении на 31.

5. Остаток от деления 36^7 на 31 равен 1. Остаток от деления 6^13 на 31 равен 1. Остаток от деления 6^12 на 31 равен 1.

6. Подставляя эти значения в выражение, получаем (1 - 1 + 1) ≡ 1 (mod 31).

7. Таким образом, мы доказали, что (36^7 - 6^13 + 6^12) делится на 31.

Вывод:

Выражение 36 в 7 степени - 6 в 13 + 6 в 12 делится на 31.