Question

Решить уравнение: sin^4x+cos^4x=sin2x

Answer 1

(1-cos2x)²/4+(1+cos2x)²/4=sin2x
1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=4sin2x
2+2cos²2x=4sin2x
2+2-2sin²2x-4sin2x=0
sin²2x+2sin2x-2=0
sin2x=a
a²+2a-2=0
D=4+8=12
a1=(-2-2√3)/2=-1-√3⇒sin2x=-1-√3<-1 нет корней
a2=-1+√3⇒sin2x=√3-1⇒2x=(-1)^n*arcsin(√3-1)+πn,n∈Z⇒
x=(-1)^n*1/2*arcsin(√3-1)+πn/2,n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой части уравнения: sin^4x + cos^4x. Мы можем представить это выражение как (sin^2x)^2 + (cos^2x)^2, и затем воспользоваться тригонометрическим тождеством sin^2x + cos^2x = 1, чтобы заменить sin^2x и cos^2x.

Таким образом, мы получаем: (1 - cos^2x)^2 + (cos^2x)^2. Раскроем скобки: 1 - 2cos^2x + cos^4x + cos^2x. Объединим подобные члены: 1 - cos^2x + cos^4x.

Теперь подставим это значение в уравнение: 1 - cos^2x + cos^4x = sin2x.

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin2x = 2sinx*cosx, чтобы заменить sin2x: 1 - cos^2x + cos^4x = 2sinx*cosx.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x, используя различные методы решения уравнений. Например, мы можем использовать метод замены переменной или метод подстановки.