Question

Докажите, что если (4x^2-9)(x^2+x+1)<0, то cos x>0

Answer 1

Т.к. x^2+x+1>0 при любых икс, то на это выражение можно сократить. Останется x^2<9/4, т.е.-Pi/2< -3/2<x<3/2<Pi/2. Т.е. х заведомо находится в 1-ой и 4-ой четверях. Т.е. cos(x)>0.

Answer 2

Для того чтобы доказать утверждение, что если выражение `(4x^2-9)(x^2+x+1) < 0`, то `cos(x) > 0`, нам понадобится использовать несколько свойств и определений.

Разложение многочлена

Для начала разложим многочлен `(4x^2-9)(x^2+x+1)` на множители:

`(4x^2-9)(x^2+x+1) = (2x+3)(2x-3)(x^2+x+1)`

Знак многочлена

Затем определим знак каждого из множителей исходного многочлена. Знак многочлена зависит от знака каждого множителя.

- `(2x+3)` имеет корни `-3/2` и `0`, и меняет знак при переходе через каждый из них. Таким образом, `(2x+3)` меньше нуля на интервале `(-∞, -3/2)` и больше нуля на интервале `(-3/2, ∞)`. - `(2x-3)` имеет корни `3/2` и `0`, и меняет знак при переходе через каждый из них. Таким образом, `(2x-3)` меньше нуля на интервале `(-∞, 3/2)` и больше нуля на интервале `(3/2, ∞)`. - `(x^2+x+1)` является квадратным трехчленом, и его знак определяется дискриминантом. Дискриминант этого трехчлена равен `-3`, что означает, что у него нет действительных корней. Таким образом, `(x^2+x+1)` всегда положительный.

Знак выражения

Теперь мы можем определить знак исходного выражения `(4x^2-9)(x^2+x+1)` на основе знаков каждого из множителей.

- Если все множители положительны, то исходное выражение положительно. - Если один из множителей отрицательный, а остальные положительные, то исходное выражение отрицательно.

Таким образом, чтобы `(4x^2-9)(x^2+x+1) < 0`, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей `(2x+3)` или `(2x-3)` был отрицательным.

Зависимость от cos(x)

Теперь докажем, что если `(4x^2-9)(x^2+x+1) < 0`, то `cos(x) > 0`.

Мы знаем, что `(2x+3)` и `(2x-3)` должны иметь разные знаки. Рассмотрим два случая:

1. Пусть `(2x+3) < 0` и `(2x-3) > 0`. Это означает, что `x < -3/2` и `x > 3/2`. Таким образом, `cos(x) > 0` для всех `x` в этом интервале.

2. Пусть `(2x+3) > 0` и `(2x-3) < 0`. Это означает, что `-3/2 < x < 3/2`. В этом интервале `cos(x)` будет положительным для всех `x`.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что если `(4x^2-9)(x^2+x+1) < 0`, то `cos(x) > 0`.

Заключение

Мы доказали, что если `(4x^2-9)(x^2+x+1) < 0`, то `cos(x) > 0`, и предоставили подробное объяснение для этого утверждения.