Question

Упростить выражение sin(П-а)/tg(П+а)* ctg(П/2-а)/tg(П/2+а)* cos(2П-а)/sina=sina

Answer 1

Sin(П-а)/tg(П+а)* ctg(П/2-а)/tg(П/2+а)* cos(2П-а)/sina=sina/(-tga)*tga/(-ctga)*cosa=sina*sina/cosa*cosa=sin^2a

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давайте разберемся подробнее.

1. Преобразование синуса и косинуса:

Используя тригонометрическое тождество `sin^2(a) + cos^2(a) = 1`, мы можем заменить `cos(2П-а)` на `cos^2(a) - sin^2(a)` и `sin(П-а)` на `sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a)`.

2. Преобразование тангенса и котангенса:

Мы можем использовать тригонометрические тождества `tan(a) = sin(a)/cos(a)` и `cot(a) = 1/tan(a) = cos(a)/sin(a)` для упрощения выражения.

3. Преобразование углов П/2:

Также мы можем использовать тригонометрические тождества, связанные с углами П/2, такие как `sin(П/2 - a) = cos(a)` и `cos(П/2 - a) = sin(a)`.

Теперь давайте применим эти преобразования к заданному выражению:

Исходное выражение: `sin(П-а)/tg(П+а)*ctg(П/2-а)/tg(П/2+а)*cos(2П-а)/sina=sina`

Шаг 1: Заменим `cos(2П-а)`: `sin(П-а)/tg(П+а)*ctg(П/2-а)/tg(П/2+а)*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 2: Заменим `sin(П-а)`: `(sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a))/tg(П+а)*ctg(П/2-а)/tg(П/2+а)*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 3: Заменим `tg(П+а)`: `(sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a))/(sin(П)/cos(П+а))*ctg(П/2-а)/tg(П/2+а)*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 4: Заменим `ctg(П/2-а)`: `(sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a))/(sin(П)/cos(П+а))*(cos(a)/sin(П/2-а))/tg(П/2+а)*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 5: Заменим `tg(П/2+а)`: `(sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a))/(sin(П)/cos(П+а))*(cos(a)/sin(П/2-а))*(sin(П/2+а)/cos(П/2+а))*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 6: Упростим и сократим подобные выражения: `(sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a))/(sin(П)/cos(П+а))*(cos(a)/sin(П/2-а))*(sin(П/2+а)/cos(П/2+а))*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 7: Сократим дроби: `(sin(П)cos(a) - cos(П)sin(a))*cos(П+а)*sin(П/2-а)*cos(П/2+а)*(cos^2(a) - sin^2(a))/(sin(П)*sin(П/2-а)*cos(П/2+а)*sina) = sina`

Шаг 8: Сократим подобные выражения: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*cos(П+а)*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 9: Упростим: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*(cos(П)cos(a) - sin(П)sin(a))*(cos^2(a) - sin^2(a))/sina = sina`

Шаг 10: Раскроем скобки: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*(cos^2(П)a - sin^2(П)a - (cos^2(a)sin^2(П) - sin^2(a)cos^2(П)))/sina = sina`

Шаг 11: Упростим: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*(cos^2(П)a - sin^2(П)a - cos^2(a)sin^2(П) + sin^2(a)cos^2(П))/sina = sina`

Шаг 12: Упростим еще раз: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*(1 - sin^2(a)cos^2(П))/sina = sina`

Шаг 13: Воспользуемся тригонометрическим тождеством `1 - sin^2(a) = cos^2(a)`: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*(cos^2(a)cos^2(П))/sina = sina`

Шаг 14: Упростим: `(cos(a) - cos(П)sin(a))*cos^2(a)cos^2(П)/sina = sina`

Шаг 15: Раскроем скобки: `cos^3(a)cos^2(П) - cos(П)sin(a)cos^2(a)cos^2(П))/sina = sina`

Шаг 16: Упростим: `(cos^3(a)cos^2(П) - cos^3(a)cos^2(П)sin(a))/sina = sina`

Шаг 17: Сократим подобные выражения: `0/sina = sina`

Шаг 18: Упростим: `0 = sina`

Таким образом, мы получили уравнение `0 = sina`. Это означает, что исходное выражение верно для любого значения угла `a`.