Question

а) y′ – y + 4 = 0, если y = 5 при x = 0

Answer 1

$y'-y+4=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ y(0)=5 \\ y'=y-4 \\ \\ \frac{dy}{dx}=y-4 \\ \\ dy=(y-4)dx \\ \\ \frac{dy}{y-4}=dx \\ \\ \int \frac{dy}{y-4}=\int dx \\ \\ \ln|y-4|=x+C \\ \\ \ln|5-4|=0+C \\ \\ \ln1=0+C \\ \\ C=0 \\ \\ \ln|y-4|=x$

Answer 2

Для начала решим уравнение y′+–y+4=0.

Дано, что y=5 при x=0. Это значит, что мы имеем начальное условие, которое можно использовать для решения уравнения.

Для начала найдем общее решение уравнения y′+–y+4=0. Представим y как сумму двух функций: y = yh + yp, где yh - это общее решение однородного уравнения y′+–y=0, а yp - это частное решение неоднородного уравнения y′+–y+4=0.

Однородное уравнение y′+–y=0 имеет решение вида yh = Ce^x, где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение yp для неоднородного уравнения y′+–y+4=0. Поскольку правая часть уравнения постоянна, можем предположить, что yp принимает вид yp = A, где A - константа.

Теперь найдем значение константы A, используя начальное условие y=5 при x=0. Подставив x=0 и y=5 в уравнение y′+–y+4=0, получим A-5+4=0, откуда A=1.

Таким образом, частное решение yp для неоднородного уравнения y′+–y+4=0 равно yp = 1.

Теперь можем записать общее решение уравнения y′+–y+4=0 как y = yh + yp = Ce^x + 1.

Используя начальное условие y=5 при x=0, найдем значение постоянной C. Подставив x=0 и y=5 в общее решение y = Ce^x + 1, получим C+1=5, откуда C=4.

Итак, общее решение уравнения y′+–y+4=0 равно y = 4e^x + 1.