Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ: Укажите наименьшее значение функции f(x)=sin2x+2cosx на отрезке [pi/2;pi]

Answer 1

Производная
$y=2cos2x-2sinx=2(cos2x-sinx)=2(1-2sin^{2}x-sinx )$
$y=0 \\ 2(1-2sin^{2}x-sinx )=0 \\ sinx=t \\ 2t^{2}+t-1=0$
$t_{1}=-1$          $t_{2} =1/2$
$x_{1}=- \pi/ 2+2 \pi n$                  $x_{2} =(-1)^{n} \pi /6+ \pi n$
В указаный промежуток попадает только x=5π/6 и т.к производная меняет знак в этой точке с - на + то это точка мининмума в которой функция имеет значение
$f(x)=sin2x+2cosx=sin5 \pi /3+2cos5 \pi /6=- \sqrt{3}/2-2* \sqrt{3}/2 \\ =-3 \sqrt{3} /2$