Question

Найдите корни уравнения 2cos^2x−7cos(π/2+x)+2=0. Найдите корни этого уравнения , принадлежащие промежутку [0;11π/6)

Answer 1

$2*(1-sin^{2}x)+7sinx+2=0$
$-2sin^{2}x+7sinx+4=0$
$2sin^{2}x-7sinx-4=0$

Замена: sinx=t∈[-1;1]

$2t^{2}-7t-4=0, D=49+4*4*2=81$
$t_{1}= \frac{7-9}{4}=-\frac{1}{2}$
$t_{2}= \frac{7+9}{4}=4\ \textgreater \ 1$ - посторонний корень

Вернемся к замене:
$sinx=-\frac{1}{2}$
$x=-\frac{ \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z
$x=-\frac{5 \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z

Найдем, какие корни принадлежат промежутку: x∈[0; 11pi/6)
1) $0 \leq -\frac{ \pi }{6}+2 \pi k \ \textless \ \frac{11 \pi }{6}$
$\frac{1}{12} \leq k \ \textless \ 1$
нет целых k
2) $0 \leq -\frac{5 \pi }{6}+2 \pi k \ \textless \ \frac{11 \pi }{6}$
$\frac{5}{12} \leq k \ \textless \ \frac{16}{12}$
k=1, $x=-\frac{5 \pi }{6}+2 \pi=\frac{7 \pi }{6}$

Ответ: 7pi/6