Question

Из всех прямоугольных параллелепипедов вписанных в сферу радиуса R и имеющих в основании квадрат, найти параллелепипед наибольшего объёма. я решил это, но мой ответ такой: (x1 - одна из сторон, x1 = R*2*(2/3)^(1/2), ответ же: R*2/(3)^(1/2), ответ так же будет куб. ps. если x - сторона квадрата, то вывел я x^2=4r^2-h^2, где h - высота паралл. Прикол в том, что сделал производную через V(x) = x^2 * h. Поясните, что и как, не понимаю этого. "моё решение не содержит ошибок, перерешал 7 раз, исписано 6 страниц", однако вот.

Answer 1

Диагональ параллелепипеда равна 2R,сторона основания (квадрата) равна х,высота параллелепипеда равна h
4R²=2x²+h²⇒h²=4R²-2x²⇒h=√(4R²-2x²)
V(x)=x²*√(4R²-2x²)
V`(x)=2x*√(4R²-2x²)-2x³/√(4R²-2x²)=
=(2x*(4R²-2x²)-2x³)/√(4R²-2x²)=2x(4R²-2x²-x²)/√(4R²-2x²)
=2x(4R²-3x²)/√(4R²-2x²)=0
x=0 не удов усл
4R²-3x²=0
3x²=4R²
x²=4R²/3
x=-2R/√3
х=2R/√3
           _                     +                       _
---------------(-2R/√3)----------(2R/√3)---------------
                                         max

Vmax=4R²/3*√(4R²-8R²/3)=4R²/3*√(4R²/3)=4R²/3*2R/√3=
=8R³/(3√3)=8R³√3/9