Question

• 1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (аn), если а1 = -15 и d = 3. • 2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; .... 3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 3п - 1. 4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 25,5 и а9 = 5,5? 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100

Answer 1

1)
$a_1=-15;\ \ d=3;\\ a_2=a_1+d;\ \ a_3=a_2+d=a_1+2d=a_1+(3-1)\cdot d;\\ a_n=a_1+(n-1)\cdot d;\\ a_{23}=-15+(23-1)\cdot3=-15+22\cdot3=-15+66=51$

2)
$8;4;0....\\ S_{16}-?;\\ a_1=8;\ \ a_2=4;\ \ a_3=0;\\ d=a_3-a_2=a_2-a_1=0-4=4-8=-4;\\ S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\\ =\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n;\\ S_{16}=\frac{2a_1+15\cdot d}{2}\cdot16=\frac{2\cdot8+15\cdot(-4)}{2}\cdot16=\\ =\frac{16-60}{2}\cdot16=(16-60)\cdot8=-44\cdot8=-352;\\ S_{16}=-352$

3)
$b_n=3n-1;\\ b_1=3\cdot1-1=3-1=2;\\ b_2=3\cdot2-1=6-1=5;\\ b_3=3\cdot3-1=9-1=5;$
тут мы имеем обычную раифметическую прогрессию с шагом 3 и первым элементом 2
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\ a_n=3n-1;\\ S_{60}=\frac{a_1+a_{60}}{2}\cdot60=\frac{3\cdot1-1+3\cdot60-1}{2}\cdot60=\\ =(3+180-2)\cdot30=181\cdot30=5430$

4)
тут определим, что если данное число отличаеться на целое колличество разницы (имеет целочисельный идекс(номер элемента))прогрессии, тогда входит, иначе нет, найдем разницу и потом сравним числа
$54,5-?\\ a_1=25,5; \ \ a_9=5,5;\\ a_9=a_1+8\cdot d==>d=\frac{a_9-a_1}{8}=\frac{5,5-25,5}{8}=-\frac{20}8=-2,5;\\ a_{x}=54,5; \ \ x-?\\ a_x=a_1+(x-1)\cdot d;\\ x=\frac{a_x-a_1}{d}+1=\frac{54,5-25,5}{-2,5}+1=\frac{29}{-2,5}+1=\frac{29-2,5}{-2,5}=\frac{26,5}{2,5}=\frac{53}{5}\notin Z$
как видно, что не воходит, тем-более идекс отрицательній и между -11 и -10 єлементами


5)
[tex]S_n-?\\ \frac{a_i}{3}\in Z;\\ 0