Question

50 БАЛЛОВ СРОЧНО Дано арифметическую прогрессию (аn). Найдите её первый член и n, если d=3, an=23, Sn=85

Answer 1

$a _{n} =a _{1}+d(n-1) \\\\23=a _{1} +3(n-1)\\\\a _{1} +3n-3=23\\\\a _{1}+3n=26\\\\a _{1}=26-3n\\\\S _{n}= \frac{a _{1}+a _{n} }{2}*n\\\\ \frac{a _{1}+23 }{2}*n=85\\\\(a _{1}+23)*n=170\\\\(26-3n+23)*n=170\\\\(49-3n)*n=170\\\\3 n^{2}-49n+170=0\\\\D=2401-4*3*170=2401-2040=361=19 ^{2}\\\\ n_{1} = \frac{49+19}{6}=11 \frac{1}{3}\\\\n _{2}= \frac{49-19}{6}=5\\\\ a_{1} =26-3*5=11$

n₁ - не подходит, так как n должно быть целым положительным числом.

Answer 2

Арифметическая прогрессия

Для решения данной задачи, где даны арифметическая прогрессия (aₙ), значение шага (d), значение n-го члена (aₙ) и сумма первых n членов (Sₙ), мы можем использовать формулы арифметической прогрессии.

Формула общего члена арифметической прогрессии

Общий член арифметической прогрессии (aₙ) может быть вычислен с использованием следующей формулы:

aₙ = a₁ + (n - 1) * d

где: - aₙ - значение n-го члена арифметической прогрессии - a₁ - первый член арифметической прогрессии - n - номер члена арифметической прогрессии - d - шаг арифметической прогрессии

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (Sₙ) может быть вычислена с использованием следующей формулы:

Sₙ = (n / 2) * (2 * a₁ + (n - 1) * d)

где: - Sₙ - сумма первых n членов арифметической прогрессии - a₁ - первый член арифметической прогрессии - n - количество членов арифметической прогрессии - d - шаг арифметической прогрессии

Решение задачи

Дано: - d = 3 (значение шага) - aₙ = 23 (значение n-го члена арифметической прогрессии) - Sₙ = 85 (сумма первых n членов арифметической прогрессии)

Мы должны найти первый член арифметической прогрессии (a₁) и количество членов (n).

Для начала, найдем значение первого члена (a₁) с использованием формулы общего члена арифметической прогрессии:

aₙ = a₁ + (n - 1) * d

Подставляя известные значения:

23 = a₁ + (n - 1) * 3

У нас есть два неизвестных: a₁ и n. Мы не можем решить эту систему одним уравнением, но у нас есть дополнительная информация - сумма первых n членов (Sₙ). Мы можем использовать это, чтобы найти другое уравнение.

Для этого, мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sₙ = (n / 2) * (2 * a₁ + (n - 1) * d)

Подставляя известные значения:

85 = (n / 2) * (2 * a₁ + (n - 1) * 3)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значений a₁ и n.