Question

Найдите значение выражения : arctg√3 - arctg(-1) А)7ПИ\12; Б) -(5ПИ\12) В) 13ПИ\12 Г) ПИ\12

Answer 1

arctg√3 - arctg(-1)=arctg√3+arctg1=pi/3+pi/pi/4=(4pi+3pi)/12=7pi/12
ответ А

Answer 2

Давайте рассмотрим это выражение пошагово.

Пусть \( \alpha = \arctan(\sqrt{3}) \). Тогда \( \tan(\alpha) = \sqrt{3} \). Также известно, что \( \tan(\pi/6) = \sqrt{3} \), поэтому \( \alpha = \pi/6 \).

Теперь рассмотрим второе слагаемое \( \beta = \arctan(-1) \). Так как \( \tan(-\pi/4) = -1 \), то \( \beta = -\pi/4 \).

Теперь мы можем выразить исходное выражение как разность углов: \( \alpha - \beta = (\pi/6) - (-\pi/4) \).

Чтобы вычесть эти два угла, мы можем воспользоваться формулой разности тангенсов:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta)} \]

Подставим значения:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3} - (-1)}{1 + \sqrt{3} \cdot (-1)} \]

Упростим числитель и знаменатель:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от корней в знаменателе:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Таким образом, \( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-1) \) равно \( \arctan(2\sqrt{3}) \).

Теперь давайте найдем значение \( \arctan(2\sqrt{3}) \). Обратная функция тангенса возвращает угол, чей тангенс равен аргументу. Так что \( \arctan(2\sqrt{3}) \) равен углу, тангенс которого равен \( 2\sqrt{3} \). Мы уже выяснили, что \( \alpha = \pi/6 \), и тангенс этого угла равен \( \sqrt{3} \), что не совпадает с \( 2\sqrt{3} \).

Итак, похоже, что в варианрах ответа ошибка. Верное значение выражения \( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-1) \) — это \( \arctan(2\sqrt{3}) \).