Question

решите пожалуйстасистемуx+y=7 lgx+lgy=1

Answer 1

X, y > 0

lg(x) + lg(y) = 1
lg(xy) = lg(10)
xy = 10

x + y = 7
xy = 10

x, y - по т. Виета корни уравнения 
t^2 - 7t + 10 = 0
t1 = 2    t2 = 5

Ответ: (2, 5), (5, 2)

Answer 2

Давайте решим систему уравнений:

1. x + y = 7 2. lg(x) + lg(y) = 1

Для удобства, давайте представим логарифмы в виде степеней десятки:

1. \(x + y = 7\) 2. \(log_{10}(x) + log_{10}(y) = 1\)

Применим свойства логарифмов, основные из которых следующие:

- \(log_{a}(b) + log_{a}(c) = log_{a}(b \cdot c)\) - \(log_{a}(b) = c\) эквивалентно \(a^c = b\)

Теперь мы можем преобразить второе уравнение:

\[log_{10}(x) + log_{10}(y) = 1\]

Применяем свойство суммы логарифмов:

\[log_{10}(x \cdot y) = 1\]

Теперь используем эквивалентность логарифмов:

\[10^1 = x \cdot y\]

\[x \cdot y = 10\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(x + y = 7\) 2. \(x \cdot y = 10\)

Мы можем решить эту систему, например, методом подстановки.

Из уравнения 1 выразим одну переменную через другую:

\[y = 7 - x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x \cdot (7 - x) = 10\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[7x - x^2 = 10\]

Получим:

\[x^2 - 7x + 10 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы видим, что у нас есть два множителя \((x - 5)\) и \((x - 2)\):

\[(x - 5)(x - 2) = 0\]

Отсюда получаем два решения:

1. \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) 2. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Теперь, подставим значения \(x\) обратно в уравнение \(y = 7 - x\):

1. Когда \(x = 5\), \(y = 7 - 5 = 2\) 2. Когда \(x = 2\), \(y = 7 - 2 = 5\)

Итак, у нас есть два набора значений для \(x\) и \(y\):

1. \(x = 5, y = 2\) 2. \(x = 2, y = 5\)