Question

Не решая уравнения 4^x+4^-x=19, найдите значение выражения 2^x+2^-x.

Answer 1

(2ˣ+2⁻ˣ)²=4ˣ+4⁻ˣ+2=19+2=21    учтено 2*4ˣ*4⁻ˣ=2*4⁰=2

Answer 2

Для нахождения значения выражения \(2^x + 2^{-x}\) при условии \(4^x + 4^{-x} = 19\), давайте введем дополнительную переменную.

Обозначим \(y = 2^x + 2^{-x}\). Теперь рассмотрим квадрат этого выражения:

\[y^2 = (2^x + 2^{-x})^2\]

Раскроем скобки:

\[y^2 = 2^{2x} + 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-x} \cdot 2^x + 2^{-2x}\]

Упростим:

\[y^2 = 2^{2x} + 2 + 2^{ -2x}\]

Теперь воспользуемся условием \(4^x + 4^{-x} = 19\), выразив \(2^{2x}\) через \(4^x\):

\[2^{2x} = (2^x)^2 = (2^x)^2 + 2\]

Подставим это выражение в уравнение для \(y^2\):

\[y^2 = (2^x)^2 + 2 + 2^{-2x} + 2 + 2^{-2x}\]

Упростим дальше:

\[y^2 = 4^x + 2 + 2^{-2x} + 2^{-2x}\]

Теперь подставим условие \(4^x + 4^{-x} = 19\):

\[y^2 = 19 + 2 + 2^{-2x} + 2^{-2x}\]

\[y^2 = 21 + 2 \cdot 2^{-2x}\]

Так как \(y = 2^x + 2^{-x}\), то:

\[y^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 2^x + 2^{-x} + 2^{-x} + 2^{-2x}\]

\[y^2 = 2^x + 2 \cdot 2^{-x} + 2^{-2x}\]

Теперь приравняем выражения для \(y^2\):

\[2^x + 2 \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} = 21 + 2 \cdot 2^{-2x}\]

Выразим \(2^x + 2^{-x}\) через \(y\):

\[y^2 = 21 + 2 \cdot 2^{-2x}\]

Теперь выразим \(2^x + 2^{-x}\):

\[y^2 - 2 \cdot 2^{-2x} = 21\]

\[y^2 = 21 + 2 \cdot 2^{-2x}\]

Теперь заметим, что \(y^2\) и \(2^x + 2^{-x}\) имеют одинаковое выражение, и мы можем записать:

\[2^x + 2^{-x} = \sqrt{21 + 2 \cdot 2^{-2x}}\]

Таким образом, мы получили выражение для \(2^x + 2^{-x}\) без явного решения уравнения \(4^x + 4^{-x} = 19\).