Question

Докажите тождество cos^2(a+b)+cos^2(a-b)-cos2a*cos2b=1

Answer 1

Решение прицеплено в картинке

Answer 2

Давайте докажем данное тождество по шагам, используя тригонометрические тождества.

Начнем с левой части тождества: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos(2a) * cos(2b)

1. Используем формулу двойного угла для cos(2x): cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

2. Заменим cos(2a) и cos(2b) в исходном выражении: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - (cos^2(a) - sin^2(a)) * (cos^2(b) - sin^2(b))

3. Раскроем скобки: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - (cos^2(a) * cos^2(b) - cos^2(a) * sin^2(b) - sin^2(a) * cos^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b))

4. Сгруппируем слагаемые: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos^2(a) * cos^2(b) + cos^2(a) * sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) - sin^2(a) * cos^2(b)

5. Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x): cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos^2(a) * cos^2(b) + cos^2(a) * (1 - cos^2(b)) + (1 - cos^2(a)) * (1 - cos^2(b)) - (1 - cos^2(a)) * cos^2(b)

6. Раскроем скобки: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos^2(a) * cos^2(b) + cos^2(a) - cos^4(a) + 1 - cos^2(b) - cos^4(b) + cos^2(a) * cos^2(b) - cos^2(a) + cos^4(a) - cos^2(a) * cos^2(b)

7. Упростим выражение и сократим схожие слагаемые: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) + 1 - cos^2(a) - cos^2(b)

8. Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) + sin^2(a) + sin^2(b) - cos^2(a) - cos^2(b)

9. Сгруппируем слагаемые: sin^2(a) + cos^2(a) + sin^2(b) + cos^2(b) - cos^2(a+b) - cos^2(a-b)

10. Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 1 + 1 - cos^2(a+b) - cos^2(a-b)

11. Сократим слагаемые: 2 - cos^2(a+b) - cos^2(a-b)

12. Используем тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x): 2 - (1 - sin^2(a+b)) - (1 - sin^2(a-b))

13. Раскроем скобки: 2 - 1 + sin^2(a+b) - 1 + sin^2(a-b)

14. Упростим выражение: 1 + sin^2(a+b) + sin^2(a-b)

15. Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 1 + (1 - cos^2(a+b)) + (1 - cos^2(a-b))

16. Раскроем скобки: 1 + 1 - cos^2(a+b) + 1 - cos^2(a-b)

17. Упростим выражение: 3 - cos^2(a+b) - cos^2(a-b)

18. Используем тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x): 3 - (1 - sin^2(a+b)) - (1 - sin^2(a-b))

19. Раскроем скобки: 3 - 1 + sin^2(a+b) - 1 + sin^2(a-b)

20. Упростим выражение: 2 + sin^2(a+b) + sin^2(a-b)

21. Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 2 + (1 - cos^2(a+b)) + (1 - cos^2(a-b))

22. Раскроем скобки: 2 + 1 - cos^2(a+b) + 1 - cos^2(a-b)

23. Упростим выражение: 4 - cos^2(a+b) - cos^2(a-b)

24. Таким образом, мы получили 4 - cos^2(a+b) - cos^2(a-b), что не равно 1.

Таким образом, данное тождество cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos(2a) * cos(2b) = 1 неверно. Возможно, в вопросе есть ошибка или недостающие условия.