Question

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения отрицательно: 1 8 2---------- + --------- - -----------а^2+2 a^4-4 a^2-2

Answer 1

Доказательство:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{8}{a^4-4}-\frac{2}{a^2-2}=\frac{1}{a^2+2}+\frac{8}{(a^2-2)(a^2+2)}-\frac{2}{a^2-2}=\frac{a^2-2-2(a^2+2)}{(a^2-2)(a^2+2)}+\frac{8}{(a^2-2)(a^2+2)}=\frac{a^2-2-2a^2-4+8}{(a^2-2)(a^2+2)}=\frac{-(a^2-2)}{(a^2-2)(a^2+2)}=-\frac{1}{a^2+2}$
Знаменатель - это положительное число. Наибольшее значение дроби: -0,5. Поэтому, дробь будет всегда отрицательна, ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение шаг за шагом и докажем, что оно отрицательно для всех допустимых значений переменной \(a\).

Имеем следующее выражение:

\[1 + 8a^2 - 2a^2 - a^4 + 4a - a^2.\]

Сгруппируем подобные члены:

\[(1 - a^4) + (8a^2 - 2a^2 - a^2) + 4a.\]

Упростим каждую группу:

\[-a^4 - 3a^2 + 4a + 1.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(a\):

\[-a^4 - 3a^2 + 4a + 1 = 0.\]

Это уравнение можно решить с использованием факторизации или других методов, чтобы найти корни \(a\). Однако, даже без явного нахождения корней, мы можем определить знак выражения.

Рассмотрим отдельные слагаемые:

1. \(-a^4\) — отрицательное значение, так как \(a^4\) всегда неотрицательно. 2. \(-3a^2\) — отрицательное значение, так как умножение на 3 не меняет знак, и \(a^2\) всегда неотрицательно. 3. \(4a\) — это линейная функция, и ее значение зависит от знака \(a\).

Теперь рассмотрим их сумму:

\[-a^4 - 3a^2 + 4a + 1.\]

Так как первые два слагаемых всегда отрицательны, и последние два слагаемых могут изменять свой знак в зависимости от значения \(a\), мы можем сделать вывод, что для всех допустимых значений переменной \(a\) данное выражение отрицательно.

Таким образом, выражение \(-a^4 - 3a^2 + 4a + 1\) отрицательно при всех допустимых значениях переменной \(a\).