Question

Решить неравенство: (3x^2+2x-3)/(x^2+1)<0

Answer 1

Применен метод интервалов

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство \(\frac{3x^2+2x-3}{x^2+1} < 0\), давайте разберемся с числителем и знаменателем отдельно:

Числитель: \(3x^2 + 2x - 3\) Знаменатель: \(x^2 + 1\)

Для начала найдем корни уравнения в знаменателе:

\[x^2 + 1 = 0\]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как \(x^2\) всегда неотрицательно, и прибавление 1 не изменит его знак.

Теперь разберемся с числителем. Мы можем попробовать найти корни квадратного уравнения \(3x^2 + 2x - 3 = 0\):

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 3\), \(b = 2\), и \(c = -3\).

\[D = 2^2 - 4(3)(-3) = 4 + 36 = 40\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у уравнения два действительных корня. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6}\]

Таким образом, корни числителя \(3x^2 + 2x - 3\) равны:

\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{40}}{6}\]

\[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{40}}{6}\]

Теперь мы видим, что у нас есть три критические точки: корень \(x_1\) и корень \(x_2\) числителя, а также корень \(x\) знаменателя (которого в данном случае нет).

Теперь определим знак выражения в каждом из интервалов, образованных этими критическими точками:

1. \((-\infty, x_2)\) 2. \((x_2, x_1)\) 3. \((x_1, +\infty)\)

Выберем произвольную точку в каждом интервале и подставим ее в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. Выберем \(x = -\infty\) (любое число меньше \(x_2\)): \[\frac{3(-\infty)^2 + 2(-\infty) - 3}{(-\infty)^2 + 1} < 0\] Это не определено.

2. Выберем \(x = 0\) (любое число между \(x_2\) и \(x_1\)): \[\frac{3(0)^2 + 2(0) - 3}{(0)^2 + 1} < 0\] Это тоже не определено.

3. Выберем \(x = +\infty\) (любое число больше \(x_1\)): \[\frac{3(+\infty)^2 + 2(+\infty) - 3}{(+\infty)^2 + 1} < 0\] Это тоже не определено.

Таким образом, нам не удалось определить знак выражения в каждом из интервалов с использованием тестовых точек. Это может произойти, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки на всем интервале.

Посмотрим на знаки коэффициентов в числителе:

1. Коэффициент при \(x^2\) положителен (\(3 > 0\)). 2. Коэффициент при \(x\) положителен (\(2 > 0\)). 3. Свободный член отрицателен (\(-3 < 0\)).

Таким образом, знаки в числителе и знаменателе одинаковы, исключая свободный член. Поскольку у нас нет корней в знаменателе, знак неравенства будет определяться свободным членом.

Итак, неравенство будет выполнено, когда свободный член отрицателен:

\[-3 < 0\]

Это всегда верно, поэтому неравенство \(\frac{3x^2+2x-3}{x^2+1} < 0\) выполняется для всех реальных значений \(x\).

Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-\infty, +\infty)\).