Question

1. Задуманное число при делении на 4 даёт остаток 2, при делении на 11 - остаток 9, при делении на 14 - остаток 12. Какое число задумано, если известно, что оно наименьшее из возможных. 2. Последняя цифра числа равна 5. доказать, что квадрат этого числа без остатка делится на 25. Решите пожалуйста,очень надо.

Answer 1

22
будет
все числа в мести

Answer 2

1. Для решения первой задачи воспользуемся методом китайской теоремы об остатках.

По условию, задуманное число при делении на 4 даёт остаток 2, при делении на 11 - остаток 9, и при делении на 14 - остаток 12.

Таким образом, мы можем записать систему сравнений: x ≡ 2 (mod 4) x ≡ 9 (mod 11) x ≡ 12 (mod 14)

Для решения этой системы, найдем общий остаток и наименьшее число, удовлетворяющее этому условию.

Наименьшее число, делящееся на 4, 11 и 14, равно их наименьшему общему кратному (НОК). НОК(4, 11, 14) = 4 * 11 * 14 = 616.

Теперь найдем общий остаток. Для этого приведем каждое уравнение системы к виду x ≡ a (mod b), где a - остаток, а b - модуль.

x ≡ 2 (mod 4) => x ≡ 2 (mod 4) x ≡ 9 (mod 11) => x ≡ 9 (mod 11) x ≡ 12 (mod 14) => x ≡ 12 (mod 14)

Теперь применим метод китайской теоремы об остатках. Для этого найдем числа N1, N2 и N3, такие что N1 = 11 * 14, N2 = 4 * 14 и N3 = 4 * 11.

N1 = 11 * 14 = 154 N2 = 4 * 14 = 56 N3 = 4 * 11 = 44

Теперь найдем числа M1, M2 и M3, которые являются обратными к N1, N2 и N3 по модулям 4, 11 и 14 соответственно.

M1 = 154^-1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4) M2 = 56^-1 (mod 11) ≡ 3 (mod 11) M3 = 44^-1 (mod 14) ≡ 3 (mod 14)

Теперь, используя формулу x ≡ Σ(ai * Ni * Mi) (mod N), где ai - остаток, Ni - модуль и Mi - обратное число, найденное ранее, получим:

x ≡ (2 * 154 * 2 + 9 * 56 * 3 + 12 * 44 * 3) (mod 616) x ≡ (616 + 1008 + 1584) (mod 616) x ≡ 3208 (mod 616) x ≡ 432 (mod 616)

Таким образом, наименьшее возможное число, удовлетворяющее условию, равно 432.

2. Вторая задача состоит в доказательстве того, что квадрат числа, оканчивающегося на 5, делится на 25 без остатка.

Пусть число, оканчивающееся на 5, равно n. Тогда мы можем записать это число в виде n = 10k + 5, где k - некоторое целое число.

Теперь возведем это число в квадрат: n^2 = (10k + 5)^2 = 100k^2 + 100k + 25.

Заметим, что каждый член этого выражения делится на 25 без остатка. 100k^2 делится на 25, так как квадрат любого числа, делаемого на 25, будет делиться на 25. 100k делится на 25, так как 100 делится на 25. И, наконец, 25 делится на 25.

Таким образом, мы доказали, что квадрат числа, оканчивающегося на 5, без остатка делится на 25.

Надеюсь, эта информация помогла вам решить задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.