Question

Решите неравенство (x-2)(x-3)(x-4) / (x+3)(x+2) >0

Answer 1

$\frac{(x-2)(x-3)(x-4) }{ (x+3)(x+2)} \ \textgreater \ 0$
Находим нули функции:
$\frac{(x-2)(x-3)(x-4) }{ (x+3)(x+2)}=0 \\ \left \{ {{(x-2)(x-3)(x-4)=0} \atop {(x+3)(x+2) \neq 0}} \right. \\ \\ x=2 \\ x=3 \\ x=4 \\ x \neq -3 \\ x \neq -2$

Обозначаем нули на ОДЗ и находим знак функции f (x) в каждом промежутке, на которые разбиваем ОДЗ
(Для того чтобы найти знак мы берем любое число, которое принадлежит данном промежутке, например на промежутке (-2; 2) можно взять число 0, и подставляем его в неравенство вместо х и тогда  высчитываем, если получается отрицательное число, то ставим знак минус, а если положительное, то плюс)
__-____-3___+__-2___-___2____+___3__-___4__+_>x

Так как по условию нужно найти числа, которые больше нуля, то промежутки имеющих знак плюс и являются ответом для неравенства.

x∈(-3;-2)∨(2;3)∨(4; +∞)

Answer 2

Для начала разберемся с знаками у каждого множителя в неравенстве. Посмотрим на каждую скобку:

1) (x-2): Здесь знак будет положительным, когда x > 2. 2) (x-3): Здесь знак будет положительным, когда x > 3. 3) (x-4): Здесь знак будет положительным, когда x > 4. 4) (x+3): Здесь знак будет положительным, когда x > -3. 5) (x+2): Здесь знак будет положительным, когда x > -2.

Теперь построим таблицу знаков для каждого множителя:

x | (x-2) | (x-3) | (x-4) | (x+3) | (x+2) | ----------------------------------------------------------------- x<-3 | - | - | - | + | + | -32 | + | - | - | + | - | 23 | + | + | - | - | - | x>4 | + | + | + | - | - |

Теперь проанализируем неравенство с помощью таблицы знаков:

1) Когда x < -3, все множители будут отрицательными, поэтому неравенство не выполнено. 2) Когда -3 < x < 2, первые три множителя отрицательные, а два последних - положительные. Исходя из этого, неравенство будет выполнено только если |(x+3)(x+2)| < |(x-2)(x-3)(x-4)|.

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим его две части отдельно: |(x+3)(x+2)| < |(x-2)(x-3)(x-4)|

Раскроем модули:

(x+3)(x+2) < (x-2)(x-3)(x-4)

Полученное неравенство должно решиться отдельно от исходного неравенства.

3) Когда x > 2, все множители будут положительными, поэтому неравенство будет выполнено.

Таким образом, итоговое решение неравенства будет:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-3, 2) ∪ (2, +∞)