Question

Доказать,что 2х²-6ху+9у²-6х+9≥0 при всех действительных значениях х и у.

Answer 1

2х²-6ху+9у²-6х+9 = х²+х²-6ху+9у²-6х+9 = (х²-6ху+9у²)+(х²-6х+9) = (х-3у)²+(х-3)²
Любое число в квадрате всегда больше либо равно нулю, следовательно сумма квадратов всегда больше либо равна нулю
то есть 
(х-3у)²≥0,  
(х-3)²≥0, значит (х-3у)²+(х-3)²≥0, следовательно

2х²-6ху+9у²-6х+9≥0  при любых действительных х и у - ч.т.д

Answer 2

Для решения данного неравенства воспользуемся квадратичной формой и методом дискриминантов.

Имеем неравенство 2х² - 6ху + 9у² - 6х + 9 ≥ 0.

Рассмотрим левую часть данного неравенства как квадратичную форму от двух переменных x и y. Ее можно записать в виде:

D = (2х - 3у)² - 6х + 9.

Теперь рассмотрим выражение D = (2х - 3у)² - 6х + 9 и проанализируем его с точки зрения дискриминантов.

Дискриминантом данной квадратичной формы является выражение D₁ = -6(2х - 3у).

Для того, чтобы неравенство 2х² - 6ху + 9у² - 6х + 9 ≥ 0 выполнялось для любых действительных значений х и у, необходимо и достаточно выполнение двух условий.

1. Условие D ≥ 0: (2х - 3у)² - 6х + 9 ≥ 0.

Так как выражение (2х - 3у)² всегда неотрицательное, то неравенство можно упростить следующим образом:

-6х + 9 ≥ 0.

Обратим внимание, что данный решение совпадает со значениями D.

Решив это неравенство, получим:

-6х ≥ -9.

Умножим обе части неравенства на -1 и поменяем знак неравенства:

6х ≤ 9.

Таким образом, первое условие выполняется для всех действительных значений х.

2. Условие D₁ ≤ 0: -6(2х - 3у) ≤ 0.

Решив данное неравенство, получим:

2х - 3у ≤ 0.

Таким образом, второе условие выполняется для всех действительных значений х и у.

Таким образом, решение данного неравенства представляется следующим образом:

2х² - 6ху + 9у² - 6х + 9 ≥ 0 при всех действительных значениях х и у, при условии 2х - 3у ≤ 0.