Question

Решить уравнение сtg(3x-π/6)=√3 и найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -2π].

Answer 1

Решаем уравнение:
$> проводим отбор корней, решаем неравенство, зная, что n - целое число <img src=$
нам подойдет только 1 корень:
$n=-7;\ x= \frac{\pi}{9} - \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi-21\pi}{9} =- \frac{20\pi}{9}$
Ответ: $x=- \frac{20\pi}{9}$

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \cot(3x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \) и найдем все корни на заданном отрезке \([-5\pi/2, -2\pi]\).

Исходное уравнение: \[ \cot(3x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \]

Для начала, заметим, что \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \) и что \( \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Таким образом, уравнение можно переписать в виде: \[ \frac{1}{\tan(3x - \frac{\pi}{6})} = \sqrt{3} \]

Теперь найдем значения \(3x - \frac{\pi}{6}\), для которых \(\tan(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), так как \(\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\).

\[ \tan(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь рассмотрим угол \(3x - \frac{\pi}{6}\) на интересующем нас отрезке \([-5\pi/2, -2\pi]\).

Для углов с тангенсом \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) существует несколько значений на этом отрезке. Давайте найдем их.

1. Первый квадрант (\(0 \leq 3x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2}\)): \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \]

2. Второй квадрант (\(\frac{\pi}{2} \leq 3x - \frac{\pi}{6} \leq \pi\)): \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \pi + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \]

3. Третий квадрант (\(\pi \leq 3x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{3\pi}{2}\)): \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \pi + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \]

4. Четвертый квадрант (\(\frac{3\pi}{2} \leq 3x - \frac{\pi}{6} \leq 2\pi\)): \[ 3x - \frac{\pi}{6} = 2\pi + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \]

Теперь решим каждое из уравнений и найдем значения \(x\).

1. \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \] \[ x = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{6} + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})\right) \]

2. \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \pi + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \] \[ x = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{2} + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})\right) \]

3. \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \pi + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \] \[ x = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi}{2} + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})\right) \]

4. \[ 3x - \frac{\pi}{6} = 2\pi + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \] \[ x = \frac{1}{3} \left(\frac{5\pi}{6} + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})\right) \]

Теперь подставим численные значения и найдем точные значения для \(x\).