Question

рекламный щит имеет форму прямоугольника площадью 9 м2 .как сделать периметр наименьший?

Answer 1

х - ширина щита, 9/х - длина щита.

P(x)=2(x+9/x) - периметр.

P'{x)=2(1-9/x^2),

P'(x)=0, 2(1-9/x^2)=0, 1-9/x^2=0, 9/x^2=1, x^2=9, x_1=-3, x_2=3,

x<-3, P'(x)>0, P(x) - возрастает,

-3<x<3, P'(x)<0, P(x) - убывает,

x>3, P'(x)>0, P(x) -возрастает,

min P(x)=P(3)=2(3+9/3)=12

x=3,

9/x=3.

наименьший периметр у квадрата со стороной 3 м

 

Answer 2

Для того чтобы найти прямоугольник с заданной площадью, у которого периметр минимален, мы можем использовать математические методы. Пусть длины сторон прямоугольника равны \(a\) и \(b\), а его площадь равна 9 м²:

\[ a \cdot b = 9 \]

Мы также знаем, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ P = 2a + 2b \]

Нам нужно минимизировать этот периметр. Давайте выразим одну из переменных из уравнения площади и подставим ее в формулу для периметра.

\[ a \cdot b = 9 \]

\[ b = \frac{9}{a} \]

Теперь подставим это значение \(b\) в формулу для периметра:

\[ P = 2a + 2 \left(\frac{9}{a}\right) \]

\[ P = 2a + \frac{18}{a} \]

Чтобы найти минимум этой функции, возьмем ее производную по \(a\) и приравняем к нулю:

\[ \frac{dP}{da} = 2 - \frac{18}{a^2} = 0 \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(a\), которое минимизирует периметр. Умножив это значение на \(b\), найдем оптимальные длины сторон.

\[ a^2 = 9 \]

\[ a = 3 \]

Таким образом, оптимальные размеры прямоугольника для минимизации периметра и с площадью 9 м² - это \(3 \times 3\), и периметр составляет \(2 \times 3 + 2 \times 3 = 12\) м.