Question

Решить дифференциальное уравнение y''-2y'-3y=x

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

Я дифуры, если честно, года два не решала, но вроде алгоритм такой. кончено, могла в вычислениях напортачить -- тут уж извини :)

Answer 3

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, можно воспользоваться методом вариации постоянных.

1. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y'' - 2y' - 3y = 0. Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид r^2 - 2r - 3 = 0. Решим его, найдя корни: r1 = 3, r2 = -1.

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y_h = C1*e^(3x) + C2*e^(-x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Далее, найдем частное решение неоднородного уравнения y'' - 2y' - 3y = x. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax + B, где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Подставим это предположение в исходное уравнение: y_p'' - 2y_p' - 3y_p = (2A - 2A - 3(Ax + B)) = -3Ax - 3B.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений: -3A = 1 (коэффициент при x), -3B = 0 (свободный член).

Решая эту систему, находим A = -1/3 и B = 0.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y_p = (-1/3)x.

3. Теперь найдем общее решение исходного неоднородного уравнения. Общее решение будет иметь вид: y = y_h + y_p = C1*e^(3x) + C2*e^(-x) - (1/3)x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, решение дифференциального уравнения y'' - 2y' - 3y = x будет иметь вид: y = C1*e^(3x) + C2*e^(-x) - (1/3)x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это и есть ответ на данную задачу.