Question

Докажите, что графиком функции (//-черта дроби) y=(3x^2+6x)//(x^3-9x^2+2x-18) является гипербола

Answer 1

D=3^2-4*1*4=9-16=-7x1=(7-23)/(2*(-8))=1
x2=(-7-23)/(2*(-8))=1.875

Answer 2

Чтобы доказать, что графиком данной функции является гипербола, нужно проанализировать ее уравнение.

Уравнение данной функции можно представить в форме y = f(x) = (3x^2 + 6x) / (x^3 - 9x^2 + 2x - 18).

Возьмем пределы функции, когда x стремится к бесконечности и когда x стремится к минус бесконечности. Рассмотрим оба случая:

1. При x → ∞: Подставим очень большое значение x в уравнение y = f(x) и посмотрим, как будет изменяться y. В этом случае получим:

y = (3x^2 + 6x) / (x^3 - 9x^2 + 2x - 18). При большом значении x^3, все остальные термины, содержащие x, будут незначительными по сравнению с ним. Таким образом, можно считать, что при x → ∞ главный член уравнения становится 3x^2 / x^3 = 3 / x. Значит, при стремлении х к бесконечности, y стремится к 0. Таким образом, график данной функции имеет ветви, которые приближаются к нулю в бесконечности.

2. При x → -∞: Подставим очень большое отрицательное значение x в уравнение y = f(x) и посмотрим, как будет изменяться y. В этом случае получим:

y = (3x^2 + 6x) / (x^3 - 9x^2 + 2x - 18). Аналогично предыдущему случаю, при большом значении x^3, все остальные термины, содержащие x, будут незначительными по сравнению с ним. Таким образом, можно считать, что при x → -∞ главный член уравнения становится 3x^2 / x^3 = 3 / x. Значит, при стремлении х к минус бесконечности, y также стремится к 0. График функции имеет ветви, приближающиеся к нулю при стремлении x к минус бесконечности.

Итак, при анализе поведения функции на бесконечности видно, что график имеет ветви, которые приближаются к нулю. Это характерная особенность гиперболы. Таким образом, графиком функции y=(3x^2+6x)/(x^3-9x^2+2x-18) является гипербола.