Question

Показательное уравнение 5^x+125*5^(-x)=30

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

\[5^x + 125 \cdot 5^{-x} = 30\]

Для упрощения уравнения можно заметить, что \(125 = 5^3\), поэтому можно переписать уравнение следующим образом:

\[5^x + 5^3 \cdot 5^{-x} = 30\]

Теперь объединим слагаемые с одинаковыми основаниями:

\[5^x + 5^{3-x} = 30\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(5^x\):

\[ (5^x)^2 + 5^x - 30 = 0 \]

Теперь давайте проведем замену переменной. Обозначим \(y = 5^x\), тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + y - 30 = 0\]

Теперь факторизуем квадратное уравнение:

\[(y + 6)(y - 5) = 0\]

Это уравнение имеет два корня: \(y = -6\) и \(y = 5\). Теперь вернемся к переменной \(x\) с учетом замены:

\[5^x = -6 \quad \text{или} \quad 5^x = 5\]

Первое уравнение не имеет решения в вещественных числах, так как невозможно, чтобы степень числа была отрицательной. Решением второго уравнения является \(x = 1\).

Таким образом, уравнение \(5^x + 125 \cdot 5^{-x} = 30\) имеет единственное решение: \(x = 1\).