Question

Доказать равенство: tga*ctga=1

Answer 1

Tga= sina/cosa
ctga= cosa/sina

tga*ctga= sina*cosa
--------------
cosa*sina
Синус скоращается с синусом, косинус с косинусом и получается 1

Answer 2

Для доказательства равенства \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 \), где \( \alpha \) - угол, будем использовать определения тригонометрических функций.

Первоначально вспомним определения функций тангенса и котангенса: - Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике с углом \( \alpha \). - Котангенс угла \( \alpha \) равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету в том же треугольнике.

Используем тригонометрические тождества для тангенса и котангенса: \[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \] \[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}. \]

Теперь, учитывая эти определения и тождества, рассмотрим произведение \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) \): \[ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right). \]

Заметим, что здесь у нас получается произведение дробей, где знаменатель одной дроби равен числителю другой дроби. По свойствам дробей такое произведение равно 1: \[ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 1. \]

Таким образом, доказано, что \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 \) для любого угла \( \alpha \).