Question

Решите неравенство где н там икс Прошу вас люди добрые даю 50 баллов \frac{1}{х-2} + \frac{2}{х}\ \textgreater \ \frac{3}{х-1}

Answer 1

$\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x} \ \textgreater \ \frac{3}{x-1} \; ,\; \; \; ODZ:\; \; x\ne 0\; ,\; x\ne 1\; ,\; x\ne 2\\\\ \frac{x(x-1)+2(x-2)(x-1)-3x(x-2)}{x(x-1)(x-2)} \ \textgreater \ 0\\\\ \frac{x^2-1+2x^2-6x+4-3x^2+6x}{x(x-1)(x-2)} \ \textgreater \ 0\\\\ \frac{3}{x(x-1)(x-2)} \ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow\; \; x(x-1)(x-2)\ \textgreater \ 0\\\\---(0)+++(1)---(2)+++\\\\x\in (0,1)\cup (2,+\infty )$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное неравенство:

\[\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x} > \frac{3}{x-1}.\]

Сначала приведем дроби к общему знаменателю, который будет произведением знаменателей всех трех дробей. Знаменатель в данном случае будет \( (x-2) \cdot x \cdot (x-1) \). После этого упростим уравнение.

Умножим каждую дробь на соответствующий множитель:

\[\frac{1}{x-2} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x-2}{x-2} \cdot \frac{x-1}{x-1} > \frac{3}{x-1} \cdot \frac{x-2}{x-2} \cdot \frac{x}{x}.\]

После упрощения получим:

\[\frac{x(x-1)}{x(x-2)} + \frac{2(x-2)}{x(x-1)} > \frac{3(x-2)}{x(x-1)}.\]

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

\[\frac{x(x-1) + 2(x-2)}{x(x-2)} > \frac{3(x-2)}{x(x-1)}.\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[\frac{x^2 - x + 2x - 4}{x(x-2)} > \frac{3x - 6}{x(x-1)}.\]

Сгруппируем подобные члены в числителе:

\[\frac{x^2 + x - 4}{x(x-2)} > \frac{3x - 6}{x(x-1)}.\]

Теперь умножим обе стороны неравенства на знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

\[(x^2 + x - 4) \cdot x(x-1) > (3x - 6) \cdot x(x-2).\]

Раскроем скобки:

\[x^3 - x^2 - 4x + x^2 + x - 4 > 3x^3 - 6x^2.\]

Упростим уравнение:

\[x^3 - 5x^2 - 5x + 4 > 3x^3 - 6x^2.\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[0 > 2x^3 - x^2 - 5x + 4.\]

Теперь мы имеем кубическое неравенство. Чтобы найти интервалы, где неравенство выполняется, нужно найти корни кубического уравнения:

\[2x^3 - x^2 - 5x + 4 = 0.\]

Это уравнение может быть решено численно или с использованием методов алгебры. После того, как найдены корни, можно определить знак выражения \(2x^3 - x^2 - 5x + 4\) в интервалах между корнями. Неравенство будет выполняться в тех интервалах, где выражение отрицательно.