Question

8 cos^4x-4cos 2x-cos4 упростить

Answer 1

8*(cos x)^4-4cos2x-cos4x
Воспользуемся тригонометрическими формулами поражения степени. Если вы изучали в школе формулу понижения 4 степени можно сразу её использовать, если нет то выводим её самостоятельно через понижение 2 степени:
Формулы:
(cos x)^2=(1+cos 2x)/2
(cos x)^4=(3+4*cos 2x +cоs 4x)/8
Выводим самостоятельно:
рассмотрим отдельно выражение:
(cos x)^4= ((cos x)^2)^2= ( (1+cos 2x)/2 )^2= (1+cos 2x)^2/4=
=(1+2*cos 2x +(cos 2x)^2)/4= (1+2cos 2x + (1+cos 4x)/2) /4= домножим и числитель и знаменатель на 2=
= (2+4cos 2x + 1+cos 4x) /8= (3+4*cos 2x +cоs 4x)/8
Подставим полученное выражение вместо (cos x)^4:
8*(cos x)^4-4cos2x-cos4x=8*( (3+4*cos 2x +cоs 4x)/8) -4cos2x-cos4x=
= 3+4cos 2x +cоs 4x -4cos2x-cos4x=3
Ответ: 3

Answer 2

Для упрощения выражения, мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса и формулу суммы косинусов.

Для начала, воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Выражим cos^2(x) через cos(2x) и подставим это в исходное выражение: 8cos^4(x) - 4cos^2(x) + 2cos(2x) - cos(4x)

Теперь воспользуемся формулой суммы косинусов: cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Используем ее для выражения cos(4x) через cos(2x): cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) = (cos^2(2x) - sin^2(2x))(cos^2(2x) + sin^2(2x)) = cos^4(2x) - sin^4(2x)

Теперь подставим это в наше выражение: 8cos^4(x) - 4cos^2(x) + 2cos(2x) - (cos^4(2x) - sin^4(2x))

Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые: 8cos^4(x) - 4cos^2(x) + 2cos(2x) - cos^4(2x) + sin^4(2x)

По общей формуле приведения для косинуса и синуса: cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2 sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Применим эти формулы к выражению: 8((1 + cos(2x))/2)^2 - 4((1 + cos(2x))/2) + 2cos(2x) - ((1 + cos(4x))/2) + ((1 - cos(4x))/2)

Далее, упростим получившееся выражение: 4(1 + cos(2x))^2 - 4(1 + cos(2x)) + 4cos(2x) - (1 + cos(4x)) + (1 - cos(4x))

Раскроем квадраты и объединим подобные слагаемые: 4(1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)) - 4 - 4cos(2x) - 1 - cos(4x) + 1 - cos(4x)

Далее, воспользуемся формулой cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2: 4(1 + 2cos(2x) + (1 + cos(2x))/2) - 4 - 4cos(2x) - 1 - cos(4x) + 1 - cos(4x)

Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые: 4(3 + 5cos(2x) + 2cos^2(2x)) - 4 - 4cos(2x) - 1 - cos(4x) + 1 - cos(4x)

Упростим ещё: 12 + 20cos(2x) + 8cos^2(2x) - 4cos(2x) - 4 - 1 - cos(4x) + 1 - cos(4x)

Далее, воспользуемся формулой cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2: 12 + 20cos(2x) + 8(1 + cos(2x))/2 - 4cos(2x) - 4 - 1 - cos(4x) + 1 - cos(4x)

Упростим последнее выражение: 12 + 20cos(2x) + 4 + 4cos(2x) - 4cos(2x) - 4 - 1 - cos(4x) + 1 - cos(4x)

Сократим слагаемые: 20cos(2x) + 4 - cos(4x)

Таким образом, упрощенное выражение равно 20cos(2x) + 4 - cos(4x).