Question

Докажите что функция y=F(x) является первообразной для функции f(x):1)F(x)= -⅜cos 4x/3+ ¾cos 2x/3, f(x)=sin x/3cosx

Answer 1

Чтобы это сделать, нужно доказать, что: F'(x) = f(x)

Найдем F'(x):

F'(x) = -3/8 * (cos4x/3)' + 3/4*(cos2x/3)'

(cos4x/3)' = -sin4x/3 * (4x/3)' = -4/3sin4x/3

(cos2x/3)' = -sin2x/3 * (2x/3)' = -2/3sin2x/3

F'(x) = -3/8 * (-4/3sin4x/3) + 3/4*(-2/3sin2x/3)

F'(x) = 1/2*sin4x/3 - 1/2sin2x/3

Пусть 4х/3 = y

F'(x) = 1/2sin(2y) - 1/2siny

F'(x) = 1/2*(sin(2y) - siny)

F'(x) = 1/2* (2siny*cosy - siny)

F'(x) = siny*cosy - 1/2siny

Вернемся к замене

siny = sin4x/3 = sinx/3  - по формуле приведения

cos4x/3 = cosx/3 - по формуле приведения

Возможно где-то ошибся,но тип решения такой, и должно получится,что F'(x) = sinx/3*cosx

 

Тогда будет доказано,что это первообразная

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функция \( y = F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \), необходимо показать, что производная функции \( F(x) \) равна функции \( f(x) \).

Дано: \[ F(x) = -\frac{3}{8}\cos\left(\frac{4x}{3}\right) + \frac{3}{4}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \] \[ f(x) = \sin\left(\frac{x}{3}\right)\cos(x) \]

Теперь найдем производную функции \( F(x) \) по переменной \( x \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{8}\cos\left(\frac{4x}{3}\right) + \frac{3}{4}\cos\left(\frac{2x}{3}\right)\right) \]

Используем правило дифференцирования суммы: \[ F'(x) = -\frac{3}{8}\frac{d}{dx}\cos\left(\frac{4x}{3}\right) + \frac{3}{4}\frac{d}{dx}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \]

Применим цепное правило для обоих частей: \[ F'(x) = -\frac{3}{8} \left(-\frac{4}{3}\sin\left(\frac{4x}{3}\right)\right) + \frac{3}{4} \left(-\frac{2}{3}\sin\left(\frac{2x}{3}\right)\right) \]

\[ F'(x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{4x}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2x}{3}\right) \]

Теперь сравним полученное выражение с функцией \( f(x) \): \[ f(x) = \sin\left(\frac{x}{3}\right)\cos(x) \]

Умножим и поделим \( f(x) \) на 2: \[ f(x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{3}\right)(2\cos(x)) \]

Сравниваем с производной функции \( F(x) \): \[ f(x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{3}\right)(2\cos(x)) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{4x}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2x}{3}\right) \]

Таким образом, производная функции \( F(x) \) равна функции \( f(x) \), что и означает, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \).