Question

(n+48)^3-(n+7)^3 кратно 41

Answer 1

(n+48)³-(n+7)³=(n+48-n-7)((n+48)²-(n+48)(n+7)+(n+7)²)=41((n+48)²-(n+48)(n+7)+(n+7)²)

41 делится на 41, значит 41((n+48)²-(n+48)(n+7)+(n+7)²) всегда делится на 41

Answer 2

Чтобы ответить на данный вопрос, нужно раскрыть скобки и произвести упрощение выражения.

(n+48)^3 = (n+48)(n+48)(n+48) = (n^2 + 96n + 2304)(n + 48) = n^3 + 48n^2 + 2304n + 2304n + 48*48n + 2304*48 = n^3 + 48n^2 + 4608n + 2304n + 2304n + 110592 = n^3 + 48n^2 + 6906n + 110592

(n+7)^3 = (n+7)(n+7)(n+7) = (n^2 + 14n + 49)(n + 7) = n^3 + 7n^2 + 49n + 14n^2 + 98n + 7*49 = n^3 + 7n^2 + 63n + 14n^2 + 98n + 343 = n^3 + 21n^2 + 161n + 343

(n+48)^3 - (n+7)^3 = (n^3 + 48n^2 + 6906n + 110592) - (n^3 + 21n^2 + 161n + 343) = n^3 + 48n^2 + 6906n + 110592 - n^3 - 21n^2 - 161n - 343 = 27n^2 + 6744n + 110249

Теперь проверим, кратно ли полученное выражение числу 41. Для этого возьмем остаток от деления выражения на 41:

(27n^2 + 6744n + 110249) % 41

Используем правило остатков:

27n^2 % 41 = (27 % 41)(n^2 % 41) = 27n^2 % 41 6744n % 41 = (6744 % 41)(n % 41) = 29n % 41 110249 % 41 = 33

27n^2 % 41 + 29n % 41 + 33 = 0

Теперь нужно решить полученное уравнение:

27n^2 % 41 + 29n % 41 = -33

Полученное выражение совсем другого рода и его решение непосредственно не связано с исходной задачей.