Question

Как построить уравнение касательной

Answer 1

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0,

Answer 2

Построение уравнения касательной к графику функции в точке требует использования нескольких шагов. Давайте рассмотрим эти шаги более подробно.

1. Найти производную функции: Если у вас есть функция \(y = f(x)\), найдите её производную \(f'(x)\). Производная в точке \(x_0\) будет равна угловому коэффициенту касательной.

2. Вычислить угловой коэффициент касательной: Подставьте значение \(x_0\) в производную \(f'(x)\), чтобы получить угловой коэффициент касательной. Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\) будет равен \(f'(x_0)\).

3. Найти значение функции в точке касания: Подставьте значение \(x_0\) обратно в исходную функцию \(y = f(x)\), чтобы получить соответствующее значение \(y_0\). Таким образом, координаты точки касания будут \((x_0, y_0)\).

4. Составить уравнение касательной: Используйте угловой коэффициент и точку касания для построения уравнения прямой в форме \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \((x_0, y_0)\) - точка касания. Уравнение касательной будет иметь вид: \[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\]

Это уравнение будет уравнением касательной к графику функции в точке \(x_0\).

Пример:

Пусть у нас есть функция \(y = x^2\) и мы хотим построить уравнение касательной в точке \(x_0 = 2\).

1. Найдем производную: \(f'(x) = 2x\). 2. Вычислим угловой коэффициент в точке \(x_0 = 2\): \(f'(2) = 4\). 3. Найдем значение функции в точке касания: \(y_0 = 2^2 = 4\). 4. Составим уравнение касательной: \[y - 4 = 4(x - 2)\].

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = x^2\) в точке \(x = 2\) будет \(y = 4x - 4\).