Question

Найдите пожалуйста производную функции у(х)=1-sin x/1+sin x и вычислите у' (п/4)

Answer 1

$y= \frac{1-sinx}{1+sinx} \\\\y'= \frac{-cosx(1+sinx)-(1-sinx)cosx}{(1+sinx)^2} = \frac{-2cosx}{(1+sinx)^2} \\\\y'(\frac{\pi}{4})= \frac{-2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{(1+\frac{\sqrt2}{2})^2} = \frac{-\sqrt2}{\frac{(2+\sqrt2)^2}{4}}=-\frac{4\cdot \sqrt2}{2\cdot (\sqrt2+1)^2}=-\frac{2\sqrt2}{(\sqrt2+1)^2}$

Answer 2

Для начала найдем производную функции у(х). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и правилами дифференцирования основных элементарных функций.

1. Начнем с дифференцирования числителя функции у(х) = 1 - sin(x): dy/dx = d(1 - sin(x))/dx = - d(sin(x))/dx = - cos(x)

2. Затем дифференцируем знаменатель функции у(х) = 1 + sin(x): d(1 + sin(x))/dx = d(1 + sin(x))/dx = d(1)/dx + d(sin(x))/dx = 0 + cos(x) = cos(x)

Теперь, найдем производную функции у(х) = (1 - sin(x))/(1 + sin(x)) используя правило дифференцирования частного:

у'(х) = (d(1 - sin(x))/dx*(1 + sin(x)) - (1 - sin(x))*d(1 + sin(x))/dx) / (1 + sin(x))^2

Раскроем скобки:

у'(х) = (-cos(x)*(1 + sin(x)) - (1 - sin(x))*cos(x)) / (1 + sin(x))^2

Сократим подобные слагаемые:

у'(х) = (-cos(x) - cos(x)*(1 + sin(x)) + cos(x)*sin(x) + cos(x)) / (1 + sin(x))^2

Далее упростим числитель:

у'(х) = (-2*cos(x)*(1 + sin(x)) + cos(x)*sin(x)) / (1 + sin(x))^2

Теперь подставим x = п/4:

у'(п/4) = (-2*cos(п/4)*(1 + sin(п/4)) + cos(п/4)*sin(п/4)) / (1 + sin(п/4))^2

У нас известно, что cos(п/4) = sin(п/4) = 1/√2. Подставим это значение:

у'(п/4) = (-2*(1/√2)*(1 + 1/√2) + (1/√2)*(1/√2)) / (1 + 1/√2)^2

Упростим числитель:

у'(п/4) = (-2*(1 + 1/√2) + 1/2) / (1 + 1/√2)^2

Дальше упростим знаменатель:

у'(п/4) = (-2 - 2/√2 + 1/2) / (1 + 1/√2)^2

Упрощаем числитель:

у'(п/4) = (-2 - 2/√2 + 1/2) / (1 + 2/√2 + 1/2)

Дальше объединяем дроби:

у'(п/4) = (-4/√2 + 1/2) / (2 + 2/√2)

Переводим в общий знаменатель:

у'(п/4) = (-4/√2 + 1/2) / ((2√2 + 2)/√2)

Делим числитель на знаменатель:

у'(п/4) = (-4/√2 + 1/2)*(√2/(2√2 + 2))

Раскрываем скобки:

у'(п/4) = (-4√2/2 + √2/4) / (2√2 + 2)

Сокращаем дроби:

у'(п/4) = (-2√2 + √2) / (2(√2 + 1))

Замечаем, что числитель равен -√2:

у'(п/4) = -√2 / (2(√2 + 1))

Таким образом, у'(п/4) = -√2 / (2(√2 + 1)) или в приближенном виде, у'(п/4) ≈ -0.414.