Question

1. X^2+4x+y^2-2x=4 2. x^2+12x+6y^2-7=0 Докажите, что уравнение задаёт окружность..

Answer 1

(x-1)^2+(y-2)^2=3^2 
Это окружность радиуса 3, с центром в точке (1;2)

Answer 2

Чтобы доказать, что уравнение задаёт окружность, давайте приведём его к стандартному виду уравнения окружности. Общий вид уравнения окружности в декартовых координатах имеет вид:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, \]

где \((a, b)\) - координаты центра окружности, \(r\) - радиус окружности.

Рассмотрим первое уравнение:

\[ x^2 + 4x + y^2 - 2x = 4. \]

Сгруппируем по переменным:

\[ (x^2 + 4x - 2x) + y^2 = 4. \]

Упростим:

\[ x^2 + 2x + y^2 = 4. \]

Теперь дополним выражение, добавив и вычтя \(1\) внутри скобок:

\[ x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4 + 1. \]

Приведём выражение к виду полного квадрата:

\[ (x + 1)^2 + y^2 = 5. \]

Таким образом, уравнение первой окружности можно представить в стандартной форме уравнения окружности:

\[ (x + 1)^2 + y^2 = 5. \]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[ x^2 + 12x + 6y^2 - 7 = 0. \]

Сгруппируем по переменным:

\[ (x^2 + 12x) + 6y^2 = 7. \]

Упростим:

\[ x^2 + 12x + 6y^2 = 7. \]

Добавим и вычтем \(36\) внутри скобок:

\[ x^2 + 12x + 36 + 6y^2 - 36 = 7. \]

Приведём выражение к виду полного квадрата:

\[ (x + 6)^2 + 6y^2 = 43. \]

Таким образом, уравнение второй окружности можно представить в стандартной форме уравнения окружности:

\[ (x + 6)^2 + 6y^2 = 43. \]

Таким образом, оба уравнения имеют стандартную форму уравнения окружности, и, следовательно, задают окружности.