Question

Решить неравенство методом интервалов x^2-1/x+7 > 0 Пожалуйста, с рисунками, и с решением.

Answer 1

Пример 3.  Решить неравенство методом интервалов                                   $\dfrac{x^2-1}{x+7}\ \textgreater \ 0$
Решение:
Рассмотрим функцию $f(x)= \dfrac{x^2-1}{x+7}$
Область определения функции: $(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty)$

Приравниваем функцию к нулю:
$\dfrac{x^2-1}{x+7}=0\\ x^2-1=0\\ x=\pm1$

Находим теперь решение неравенства
____-__(-7)___+__(-1)___-___(1)___+____

Ответ:  $x \in (-7;-1)\cup(1;+\infty)$

Answer 2

Неравенство x^2-1/(x+7) > 0 можно решить с помощью метода интервалов.

1. Начнем с того, что найдем точки, в которых левая часть неравенства равна нулю: x^2-1/(x+7) = 0 x^2(x+7) - 1 = 0 x^3 + 7x^2 - 1 = 0 Это кубическое уравнение и его решения сложно найти аналитически. Мы воспользуемся графиком функции, чтобы найти корни.

2. Построим график функции f(x) = x^2-1/(x+7):

- Сначала посчитаем значения функции в нескольких точках, чтобы понять ее поведение. Например, для x = -10, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2: f(-10) ≈ 100.1 f(-5) ≈ 24.9 f(-4) ≈ 15.75 f(-3) ≈ 8.3 f(-2) ≈ 2.75 f(-1) ≈ -0.4 f(0) ≈ -1 f(1) ≈ 0.8 f(2) ≈ 4/3 - Построим график функции f(x) на основе полученных значений:

^ 100 + | | | 50 + | ------------------- | | / | / 0 + + | _______________________ -10 -5 0 5 На графике видно, что функция f(x) > 0 при x≈(-7, -5) ∪ (-3, +∞)

3. Из графика следует, что решениями неравенства являются значения x из интервалов (-7, -5) и (-3, +∞), то есть: x ∈ (-7, -5) ∪ (-3, +∞)