Question

Наибольшее значение:1)y=(x-4)^2*(x-1) [1,5;4,5]2)y=2x^3+2x^2-10x+1 [-1;2]3)y=3x+3ctgx-1-3/4*П [П/4; П/2]наименьшее значение:y=x+16/x [1;8]y=6+27x-x^3 [-3;4]Прошу с решением все как положено

Answer 1

1. y=(x-4)^2*(x-1)

y'=2x - 8

y'=0, 2x - 8 =0

         x = 4

y(4)=3

y(1.5)=3.125

y(4.5)=0.875

 

Ответ 3,125

 

2. y=2x^3+2x^2-10x+1

y'= 6x^2 + 4x - 10

y'=0, 6x^2 + 4x -10=0

D=256

x1 = (-4 -4)/2=-4

x2=0

 

y(0)= 1

y(-4)= 201

y(-1)=-2+2+10+1=11

y(2)=16+8-20+1=5

ответ 201

 

y=x+16/x

y'= 1-16/x^2

y'=0 1-16/x^2=0

16/x^2=1

16=x^2

x1 = 4

x2 = -4

 

y(4)=8

y(-4)=-8

y(1)=17

y(8)= 10

Ответ -8

 

y=6+27x-x^3

y'=27-3x^2

y'=0, 27-3x^2=0

3x^2=27

x^2=9

x1=3

x2=-3

y(3)=60

y(-3)=102

y(4)=50

Ответ 50

Answer 2

Для каждого из уравнений, мы будем искать наибольшее или наименьшее значение функции. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем его экстремумы.

Уравнение 1: y = (x-4)^2 * (x-1) + [1,5;4,5]

Для начала, найдем производную функции, чтобы определить точки, в которых она достигает экстремумов.

y' = 2(x-4)(x-1) + (x-4)^2

Решим уравнение y' = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю:

2(x-4)(x-1) + (x-4)^2 = 0

Раскроем скобки:

2(x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 8x + 16) = 0

Упростим:

3x^2 - 22x + 24 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 3, b = -22 и c = 24.

Подставим значения:

x = (-(-22) ± √((-22)^2 - 4 * 3 * 24)) / (2 * 3) x = (22 ± √(484 - 288)) / 6 x = (22 ± √196) / 6 x = (22 ± 14) / 6

Таким образом, получаем две точки, x = 6 и x = 2.

Теперь найдем значение функции в каждой из этих точек и на концах интервала [1.5, 4.5], чтобы определить наибольшее значение:

y(1.5) = (1.5-4)^2 * (1.5-1) + [1.5,4.5] = (-2.5)^2 * 0.5 + [1.5,4.5] = 6.25 * 0.5 + [1.5,4.5] = 3.125 + [1.5,4.5] = [4.625,7.625]

y(2) = (2-4)^2 * (2-1) + [1.5,4.5] = (-2)^2 * 1 + [1.5,4.5] = 4 + [1.5,4.5] = [5.5,8.5]

y(6) = (6-4)^2 * (6-1) + [1.5,4.5] = 2^2 * 5 + [1.5,4.5] = 20 + [1.5,4.5] = [21.5,24.5]

y(4.5) = (4.5-4)^2 * (4.5-1) + [1.5,4.5] = 0.5^2 * 3.5 + [1.5,4.5] = 0.25 * 3.5 + [1.5,4.5] = 0.875 + [1.5,4.5] = [2.375,5.375]

Таким образом, наибольшее значение функции y на интервале [1.5, 4.5] равно 24.5, которое достигается при x = 6.

Уравнение 2: y = 2x^3 + 2x^2 - 10x + 1 + [-1,2]

Для этого уравнения мы также найдем производную, чтобы определить точки экстремума.

y' = 6x^2 + 4x - 10

Решим уравнение y' = 0:

6x^2 + 4x - 10 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, или применив методы факторизации или численного решения. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 6, b = 4 и c = -10.

Подставим значения:

x = (-4 ± √(4^2 - 4 * 6 * -10)) / (2 * 6) x = (-4 ± √(16 + 240)) / 12 x = (-4 ± √256) / 12 x = (-4 ± 16) / 12

Таким образом, получаем две точки, x = 1 и x = -2/3.

Теперь найдем значение функции в каждой из этих точек и на интервале [-1, 2], чтобы определить наибольшее значение:

y(-1) = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 10(-1) + 1 + [-1,2] = 2(-1) + 2(1) + 10 + 1 + [-1,2] = -2 + 2 + 10 + 1 + [-1,2] = 11 + [-1,2] = [10,13]

y(-2/3) = 2(-2/3)^3 + 2(-2/3)^2 - 10(-2/3) + 1 + [-1,2] = 2(-8/27) + 2(4/9) + 20/3 + 1 + [-1,2] = -16/27 + 8/9 + 20/3 + 1 + [-1,2] = (-16 + 24 + 180 + 27) / 27 + [-1,2] = 215/27 + [-1,2] = [7.96,8.03]

y(2) = 2(2)^3 + 2(2)^2 - 10(2) + 1 + [-1,2] = 2(8) + 2(4) - 20 + 1 + [-1,2] = 16 + 8 - 20 + 1 + [-1,2] = 5 + [-1,2] = [4,7]

Таким образом, наибольшее значение функции y на интервале [-1, 2] равно 8.03, которое достигается при x = -2/3.

Уравнение 3: y = 3x + 3ctgx - 1 - 3/4 * П + [П/4, П/2]

Аналогично, найдем производную этой функции:

y' = 3 - 3sin^2(x)

Решим уравнение y' = 0:

3 - 3sin^2(x) = 0

3sin^2(x) = 3

sin^2(x) = 1

sin(x) = ±1

x = arcsin(1) или x = arcsin(-1)

x = П/2 или x = -П/2

Теперь найдем значение функции в каждой из этих точек и на интервале [П/4, П/2], чтобы определить наименьшее значение:

y(П/4) = 3(П/4) + 3ctg(П/4) - 1 - 3/4 * П + [П/4, П/2] = 3(П/4) + 3 - 1 - 3/4 * П + [П/4, П/2] = 3(П/4) + 2 - 3/4 * П + [П/4, П/2] = 3(П/4) + 2 - 3/4 * П + [П/4, П/2] = 3(П/4) + 2 - 3/4 * П + [П/4, П/2] = 2.356 + [П/4, П/2] = [2.356 + П/4, 2.356 + П/2]

y(П/2) = 3(П/2) + 3ctg(П/2) - 1 - 3/4 * П + [П/