Question

Найдите меньшее решение неравенства лог: 3log₂₇x²≤log₃(9x+70)

Answer 1

Решение и ответ во вложении

Answer 2

Данное неравенство содержит логарифмы с разными основаниями. Для удобства решения приведем логарифмы к одному основанию, а именно к основанию 2.

Используем свойства логарифмов: 1) logₐ(b) = log(c)/log(a), где a, b, c - числа, a и c - основания логарифмов.

Преобразуем левую часть неравенства: 3log₂₇x² = (3log(x²))/(log₂7) = (3log(x²))/(log₂(3³)) = (3log(x²))/(3log₂3).

Преобразуем правую часть неравенства: log₃(9x+70) = (log(9x+70))/(log₃3) = (log(9x+70))/(1/2) = 2log(9x+70).

Теперь получаем преобразованное неравенство: (3log(x²))/(3log₂3) ≤ 2log(9x+70).

Сокращаем знаменатели и упрощаем неравенство: log(x²)/log₂3 ≤ 2log(9x+70).

Перепишем логарифмы с основанием 2 в эквивалентной форме: log₂3 = log₃3 / log₃2 = 1 / log₃2, 2log(9x+70) = log(9x+70) / log(2²) = log(9x+70) / 2log₂2 = log(9x+70) / 2.

Теперь получаем упрощенное неравенство: log(x²) * log₃2 ≤ log(9x+70) / 2.

Упростим левую часть неравенства: log(x²) * log₃2 = (2log(x)) * (1 / log₃2) = 2log(x) / log₃2.

Подставим полученные упрощения в исходное неравенство: 2log(x) / log₃2 ≤ log(9x+70) / 2.

Умножим обе части неравенства на 2 и приведем к общему знаменателю: 4log(x) ≤ log(9x+70).

Применим свойство логарифма: log(a) - log(b) = log(a/b), где a и b - числа. 4log(x) ≤ log(9x+70) => log(x⁴) ≤ log(9x+70).

Отсюда получаем: x⁴ ≤ 9x + 70.

Это квадратное неравенство можно решить разными методами. Одним из методов является графический метод. Построим графики функций y = x⁴ и y = 9x + 70 и найдем точки пересечения.

На графике видно, что точки пересечения лежат в интервале x ∈ [-4, 4]. Значит, меньшее решение неравенства x⁴ ≤ 9x + 70 можно найти, подставив значения из этого интервала в неравенство и проверив их.

x = -4: (-4)⁴ ≤ 9(-4) + 70 => 256 ≤ -36 + 70 => 256 ≤ 34, неверно. x = 4: 4⁴ ≤ 9(4) + 70 => 256 ≤ 36 + 70 => 256 ≤ 106, неверно.

Таким образом, данное неравенство нет решений.