Question

Найдите первообразную функцию g=f(х) график которой проходит через точку А(x)=1/2cos x/2-5 sin5x ,В(П;0)

Answer 1

F(x)=sin(x/2)+cos(5x)+C
0=sin(π/2)+cos(5π)+C
C=-1+1=0
F(x)=sin(x/2)+cos(5x)

Answer 2

Для нахождения первообразной функции \( g = f(x) \), график которой проходит через точку \( A(x) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 5 + \sin(5x) \), нужно воспользоваться процессом интегрирования.

Итак, начнем с поиска первообразной:

\[ g(x) = \int f(x) \, dx \]

Функция \( f(x) \) в данном случае:

\[ f(x) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 5 + \sin(5x) \]

Теперь проинтегрируем каждый из членов по отдельности:

\[ \int \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \, dx - \int 5 \, dx + \int \sin(5x) \, dx \]

1. Интегрируем \( \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \):

\[ \int \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = \sin\left(\frac{x}{2}\right) \]

2. Интегрируем \( -5 \):

\[ -\int 5 \, dx = -5x \]

3. Интегрируем \( \sin(5x) \):

\[ \int \sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) \]

Теперь сложим все полученные интегралы:

\[ g(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 5x - \frac{1}{5}\cos(5x) + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение константы \( C \), воспользуемся условием, что график функции проходит через точку \( B(\pi, 0) \). Подставим \( x = \pi \) и \( g(\pi) = 0 \):

\[ 0 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 5\pi - \frac{1}{5}\cos(5\pi) + C \]

\[ 0 = 1 - 5\pi + \frac{1}{5} + C \]

\[ C = 5\pi - \frac{6}{5} \]

Таким образом, окончательная первообразная будет:

\[ g(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 5x - \frac{1}{5}\cos(5x) + 5\pi - \frac{6}{5} \]